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+title: Como obter a fronteira eficiente usando o R
+author: Geisyane Karina Gonzaga Kath
+date: '2021-04-08'
+slug: []
+categories:
+  - tutoriais
+  - economia
+  - finanças
+tags:
+  - investimentos
+  - carteira otima
+  - fronteira eficiente
+  - markowitz
+description: ''
+images:
+  - 'img/fronteira_eficiente/calculator-1680905_1920.jpg'
+---
+### O QUE É FRONTEIRA EFICIENTE
+
+Uma carteira de ativos é dada por um conjunto de ativos (ou ainda por um único ativo) cuja soma da proporção a ser investida em cada ativo é 1. Assim, é possível compreender a definição de fronteira eficiente que foi utilizada por Markowitz: dado um conjunto de ativos, há inúmeras possibilidades de combinações dos mesmos formando carteiras, por isso, para representá-las em um diagrama de forma eficiente e de fácil visualização, basta considerar que se duas carteiras possuem o mesmo risco e uma delas tem o maior retorno, a de menor retorno é desprezada. Do mesmo modo, se duas carteiras possuem o mesmo retorno esperado e uma delas possui o menor risco, esta será a escolhida. Ou seja, a fronteira eficiente é formada apenas pelas carteiras que seriam de interesse de investidores.
+
+
+No livro Moderna Teoria de Carteiras e Análise de Investimentos (2012), capítulo 5, os autores utilizam a imagem a seguir para representar a infinidade de carteiras possíveis.
+
+|![](/blog/2021-04-08-como-obter-a-fronteira-eficiente-usando-o-r_files/FE.png) | 
+|:--:| 
+| *Fonte: Elton, et. al (2012)* |
+
+
+Perceba que, seguindo o conceito anteriormente apresentado de fronteira eficiente, a carteira B é preferível no lugar de A, visto que se trata de correr o mesmo risco e obter um possível retorno maior. Da mesma forma, a carteira E é preferível em relação a F, pois embora o retorno esperado seja o mesmo, o risco é menor. Assim, a fronteira eficiente é aquela que vai da carteira de menor risco até a que possui o maior retorno, observando as regras mencionadas: trata-se, no caso da figura, do segmento CEB.
+
+### SEM VENDAS A DESCOBERTO E SEM RETORNO À TAXA LIVRE DE RISCO
+
+Para representar a fronteira eficiente no R, primeiramente é necessário instalar os seguintes pacotes:
+
+```
+install.packages('quadprog')
+install.packages('PerformanceAnalytics')
+install.packages("IntroCompFinR", repos="http://R-Forge.R-project.org")
+install.packages('BatchGetSymbols')
+
+```
+
+Depois, é preciso baixar os dados de interesse, que são os retornos dos ativos em determinado período. Para isso,
+
+
+```
+
+library(quadprog)
+library(PerformanceAnalytics)
+library(IntroCompFinR)
+library(BatchGetSymbols)
+
+# Selecione os ativos que deseja trabalhar
+
+papeis <- c('MGLU3.SA', 'PETR4.SA', 'ITUB4.SA', 'WEGE3.SA')
+
+# Adicione uma data inicial e final para os retornos que quer consultar.
+# Lembre que a data deve ser colocada na ordem ano-mês-dia.
+
+data.inicial <- as.Date('2019-06-17')
+data.final <- as.Date('2020-07-31')
+
+# Especifique se deseja retornos diários("daily"), semanais("weekly"), mensais("monthly") ou anuais("yearly").
+
+frequencia <- 'monthly'
+
+Retornos <- BatchGetSymbols(ticker = papeis, first.date = data.inicial,
+                            last.date = data.final, freq.data = frequencia)
+
+# Aqui é importante observar a ordem que os dados foram gerados, para isso:
+
+Retornos$df.tickers$ticker
+
+> Retornos$df.tickers$ticker
+ [1] "ITUB4.SA" "ITUB4.SA" "ITUB4.SA" "ITUB4.SA" "ITUB4.SA" "ITUB4.SA" "ITUB4.SA"
+ [8] "ITUB4.SA" "ITUB4.SA" "ITUB4.SA" "ITUB4.SA" "ITUB4.SA" "ITUB4.SA" "ITUB4.SA"
+[15] "MGLU3.SA" "MGLU3.SA" "MGLU3.SA" "MGLU3.SA" "MGLU3.SA" "MGLU3.SA" "MGLU3.SA"
+[22] "MGLU3.SA" "MGLU3.SA" "MGLU3.SA" "MGLU3.SA" "MGLU3.SA" "MGLU3.SA" "MGLU3.SA"
+[29] "PETR4.SA" "PETR4.SA" "PETR4.SA" "PETR4.SA" "PETR4.SA" "PETR4.SA" "PETR4.SA"
+[36] "PETR4.SA" "PETR4.SA" "PETR4.SA" "PETR4.SA" "PETR4.SA" "PETR4.SA" "PETR4.SA"
+[43] "WEGE3.SA" "WEGE3.SA" "WEGE3.SA" "WEGE3.SA" "WEGE3.SA" "WEGE3.SA" "WEGE3.SA"
+[50] "WEGE3.SA" "WEGE3.SA" "WEGE3.SA" "WEGE3.SA" "WEGE3.SA" "WEGE3.SA" "WEGE3.SA"
+
+# Observe que a ordem não é a do vetor informado em "papeis", mas sim ITUB4.SA, MGLU3.SA, PETR4.SA e WEGE3.SA
+
+Tabela_Retornos <- as.data.frame(Retornos[2])
+Tabela_Retornos
+
+```
+
+Sendo de interesse apenas a coluna da tabela que contém os retornos ajustados pelo preço (df.tickers.ret.adjusted.prices), é importante extrair apenas os dados dessa coluna referente a cada um dos ativos. 
+
+
+```
+# Para obter apenas os dados da coluna de interesse
+
+dados<-Tabela_Retornos$df.tickers.ret.adjusted.prices
+dados
+
+# Para colocar os dados em sequência e retirar os NA
+
+x <- seq_along(dados[!is.na(dados)])
+x
+
+# Para separar os dados em termos de cada ativo (ceiling é x/13 porque são 13 meses).
+# Como são 4 ativos sendo analisados, serão 4 sep
+
+sep <- split(dados[!is.na(dados)], ceiling(x/13))
+sep
+
+# Para que os retornos fiquem em porcentagem:
+
+# ITUB4.SA
+z1<-sep$'1'*100
+# MGLU3.SA 
+z2<-sep$'2'*100
+# PETR4.SA 
+z3<-sep$'3'*100
+# WEGE3.SA
+z4<-sep$'4'*100
+
+ativos<-c('ITUB4.SA','MGLU3.SA','PETR4.SA','WEGE3.SA')
+retornos<-cbind(z1,z2,z3,z4)
+
+```
+
+Para traçar a fronteira eficiente é preciso ter alguns insumos como o retorno médio de cada ativo e também a matriz de covariância dos mesmos, assim,
+
+```
+# Para calcular a média dos retornos de cada ativo:
+
+retorno_medio<- rbind(mean(retornos[,1]), mean(retornos[,2]), mean(retornos[,3]), mean(retornos[,4]))
+retorno_medio
+
+# Para calcular o desvio padrão dos retornos de cada ativo:
+
+desvio_padrao<- rbind(sd(z1),sd(z2), sd(z3), sd(z4))
+
+# Para nomear as linhas
+
+rownames(desvio_padrao)<-ativos
+rownames(retorno_medio) <- ativos
+
+# Para obter a matriz de covariância dos ativos
+
+matriz_cov <- cov(retornos)
+
+rownames(matriz_cov) <- ativos
+colnames(matriz_cov) <- ativos
+
+```
+
+Para obter a carteira de menor risco e os pontos da fronteira eficiente:
+
+
+```
+#Para que não haja vendas a descoberto:
+
+short<-FALSE
+
+# Cálculo da carteira com a menor risco possível
+
+carteira_min_risco <- globalMin.portfolio(retorno_medio, matriz_cov, shorts = short)
+
+# É possível visualizar o retorno esperado, o risco e a proporção a ser investida em cada ativo para a carteira de menor risco
+
+carteira_min_risco
+
+# Cálculo dos diferentes pontos da fronteira eficiente
+#nport é o número de pontos com diferentes pesos a serem calculados pela função
+
+fronteira_eficiente <- efficient.frontier(retorno_medio, matriz_cov, nport = 1500, shorts = short)
+fronteira_eficiente
+
+```
+
+E para visualizar a fronteira eficiente:
+
+
+```
+
+# Visualização da Fronteira Eficiente
+# xlim e ylim é a escala do gráfico, xaxs='i' e yaxs='i' é para que o eixo horizontal e vertical se iniciem em zero
+#xlab e ylab é para renomear os eixos x e y respectivamente
+
+plot(fronteira_eficiente$sd,fronteira_eficiente$er, ylab= "Retorno esperado", xlab="Risco da carteira",col="blue", pch=16, xlim=c(0,17),ylim=c(0,14),xaxs='i',yaxs='i')
+
+# Observe que o eixo horizontal apresenta o desvio padrão e o eixo vertical apresenta o retorno esperado
+
+# Para visualizar a carteira de menor risco
+
+points(carteira_min_risco$sd, carteira_min_risco$er, col="green", pch=10, cex=2)
+text(carteira_min_risco$sd, carteira_min_risco$er, labels="Risco Mínimo", pos=2)
+
+# Para visualizar os demais ativos (o desvio padrão e o retorno médio são respectivamente colocados)
+# pos=2 o nome do ativo fica ao lado esquerdo do ponto
+# pos=1 o nome do ativo fica logo abaixo do ponto
+# pos=3 o nome do ativo fica acima do ponto
+
+points(9.9538,-1.2182, col='purple',pch=10, cex=2)
+text(9.9538,-1.2182, "ITUB4", pos = 2)
+
+points(15.3075,10.4740, col='Yellow',pch=10, cex=2)
+text(15.3075,10.4740, "MGLU3", pos = 3)
+
+points(16.9875,0.4360, col='gray',pch=10, cex=2)
+text(16.9875,0.4360, "PETR4", pos = 2)
+
+points(13.7182,10.3032, col='black',pch=10, cex=2)
+text(13.7182,10.3032, "WEGE3", pos = 1)
+
+```
+
+![](/blog/2021-04-08-como-obter-a-fronteira-eficiente-usando-o-r_files/Rplot02.png)
+
+### SEM VENDAS A DESCOBERTO E COM RETORNO À TAXA LIVRE DE RISCO
+
+Aqui admite-se que o investidor tem a opção de investir em algum ativo com retorno livre de risco, para esse exemplo considere um retorno à taxa de juros de 0.11%. A forma de baixar os dados necessários é a mesma que no caso anterior e os mesmos dados foram utilizados para esse exemplo. 
+
+```
+# Para um retorno à taxa livre de risco igual a 0.11% e sem vendas a descoberto
+tx_livre_risco <- 0.11
+short <- FALSE
+
+# Carteira eficiente
+
+carteira_eficiente <-IntroCompFinR::tangency.portfolio(retorno_medio, matriz_cov, tx_livre_risco, shorts = short)
+
+# É possível visualizar o retorno esperado, o risco da carteira e também a proporção que deve ser investida em cada ativo para obtê-la
+
+carteira_eficiente
+
+# Carteira de menor risco
+
+carteira_min_risco <- globalMin.portfolio(retorno_medio, matriz_cov, shorts = short)
+
+
+```
+Para encontrar a fronteira eficiente:
+
+```
+
+# Pontos da Fronteira Eficiente
+
+fronteira_eficiente <- efficient.frontier(retorno_medio, matriz_cov, nport = 1500, shorts = FALSE)
+
+# Visualização da Fronteira Eficiente
+
+plot(fronteira_eficiente$sd,fronteira_eficiente$er, col="blue",ylab= "Retorno esperado", xlab="Risco da carteira", pch=16, xlim=c(0,18),ylim=c(0,15), xaxs='i',yaxs='i') 
+
+points(carteira_min_risco$sd, carteira_min_risco$er, col="green", pch=10, cex=2)
+text(carteira_min_risco$sd, carteira_min_risco$er, labels="Risco Mínimo", pos=2)
+
+points(carteira_eficiente$sd, carteira_eficiente$er, col="red", pch=10, cex=2)
+text(carteira_eficiente$sd, carteira_eficiente$er, labels="Carteira Eficiente", pos=2)
+
+points(9.9538,-1.2182, col='purple',pch=10, cex=2)
+text(9.9538,-1.2182, "ITUB4", pos = 2)
+
+points(15.3075,10.4740, col='Yellow',pch=10, cex=2)
+text(15.3075,10.4740, "MGLU3", pos = 3)
+
+points(16.9875,0.4360, col='gray',pch=10, cex=2)
+text(16.9875,0.4360, "PETR4", pos = 2)
+
+points(13.7182,10.3032, col='black',pch=10, cex=2)
+text(13.7182,10.3032, "WEGE3", pos = 1)
+
+```
+
+A linha que tangencia a carteira eficiente tem como coeficiente angular
+$$
+\theta=\frac{\bar{R}_p-R_f}{\sigma_p}
+$$
+
+Em que
+
+
+$\bar{R}_p$ é o retorno esperado da carteira ótima
+
+
+$R_f$ é o retorno do ativo livre de risco
+
+
+$\sigma_p$ é o risco da carteira ótima
+
+
+Então,
+
+
+
+```
+
+# Cálculo de theta
+
+theta <- (carteira_eficiente$er - tx_livre_risco)/carteira_eficiente$sd
+theta
+
+# Adição da linha que tangencia a carteira eficiente e que tem como intercepto o retorno à taxa livre de risco
+
+abline(a = tx_livre_risco, b=theta, col="green")
+
+
+
+```
+
+
+![](/blog/2021-04-08-como-obter-a-fronteira-eficiente-usando-o-r_files/Rplot03.png)
+
+### REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
+
+ELTON, E. J.; GRUBER, M. J.; BROWN S. J.; GOETZMANN, W. N. Moderna Teoria de Carteiras e Análises de Investimentos. Tradução de Helga Hoffmann. Elsevier Editora Ltda, 2012. 747 p