From dc55b1cfd288038f77bfa0b17c817177c4a3140b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: otreblan Date: Wed, 13 Nov 2019 15:58:45 -0500 Subject: [PATCH] Repaso --- ima/clase35/PLACEHOLDER | 0 ima/clase35/dibujo-1.svg | 187 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ima/clase35/dibujo-2.svg | 156 ++++++++++++++++++++++++++++++++ main.sty | 1 + main.tex | 1 + tex/clase35.tex | 144 ++++++++++++++++++++++++++++++ 6 files changed, 489 insertions(+) create mode 100644 ima/clase35/PLACEHOLDER create mode 100644 ima/clase35/dibujo-1.svg create mode 100644 ima/clase35/dibujo-2.svg create mode 100644 tex/clase35.tex diff --git a/ima/clase35/PLACEHOLDER b/ima/clase35/PLACEHOLDER new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/ima/clase35/dibujo-1.svg b/ima/clase35/dibujo-1.svg new file mode 100644 index 0000000..6d398d5 --- /dev/null +++ b/ima/clase35/dibujo-1.svg @@ -0,0 +1,187 @@ + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + $A$ + $B$ + + diff --git a/ima/clase35/dibujo-2.svg b/ima/clase35/dibujo-2.svg new file mode 100644 index 0000000..9e221ab --- /dev/null +++ b/ima/clase35/dibujo-2.svg @@ -0,0 +1,156 @@ + + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + + + + + $\mathbb{C}_{2k+1}$ + + $G$ + + diff --git a/main.sty b/main.sty index 24a8bb7..50b22da 100644 --- a/main.sty +++ b/main.sty @@ -41,6 +41,7 @@ % Partes que usa Renom \newcommand{\teorema}{\subsection*{Teorema:}} \newcommand{\definicion}{\subsection*{Definición:}} +\newcommand{\demostracion}{\subsection*{Demostración:}} \newcommand{\observacion}{\subsection*{Observación:}} \newcommand{\receta}{\subsection*{Receta:}} diff --git a/main.tex b/main.tex index 65f74d2..7288389 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -55,6 +55,7 @@ \subfile{tex/clase32} \subfile{tex/clase33} \subfile{tex/clase34} +\subfile{tex/clase35} \end{document} %}}} diff --git a/tex/clase35.tex b/tex/clase35.tex new file mode 100644 index 0000000..5b07281 --- /dev/null +++ b/tex/clase35.tex @@ -0,0 +1,144 @@ +\makeatletter +\def\input@path{{../}} +\makeatother +\documentclass[../main.tex]{subfiles} + +\graphicspath{{ima/clase35}{../ima/clase35}} + +% Aquí empieza el documento{{{ +\begin{document} +\chapter{Repaso de grafos}% + +\thispagestyle{fancy} + +\definicion + +\begin{itemize} + \item Paseo: + + Una secuencia de vértices + \begin{gather*} + \omega = (V_1,V_2,V_3,\cdots,V_{n-1},V_n,V_{n+1})\\ + \{V_i, V_{i+1}\} \in E(G)\quad \forall i \in[n] + \end{gather*} + \item Sendero: + + Un paseo que no repite aristas si es cerrado en un circuito. + \item Camino: + + Un sendero que no repite vértices si es cerrado es un ciclo. + + \item Largo: + + Número de aristas por las que pasa. + \item Un sendero es euleriano si visita todas las aristas de $G$ + exactamente una vez. + \item Un camino es hamiltoniano si visita todos los vértices de $G$ + exactamamente una vez. +\end{itemize} + +\definicion +$G=(V,E)$ es bipartito si existen conjuntos $A$ y $B$ tales que +$A\cap B = \varnothing \wedge A \cup B = V$ + +Tales que las aristas de $G$ tienen un extremo en $A$ y otro en $B$. +\begin{figure}[H] + \centering + \includesvg[width=0.8\linewidth]{dibujo-1} +\end{figure} +Al parecer no hay aristas entre los vértices dentro de $A$ con los de $A$. +Ni desde $B$ con los de $B$. + +Todo grafo bipartito es coloreable con 2 colores o menos. + +\begin{align*} + &\mathbb{K}_{n,m}\quad\text{es bipartito}\\ + &\mathbb{A}_n\quad\text{es bipartito}\\ + &\mathbb{S}_n\quad\text{es bipartito}\\ + &\mathbb{Q}_n\quad\text{es bipartito}\\ +\end{align*} + +\teorema +Si $G$ tiene un ciclo impar como subgrafo entonces $G$ no es bipartito. + +\begin{figure}[H] + \centering + \includesvg[width=0.5\linewidth]{dibujo-2} +\end{figure} + +\demostracion +Supongamos que $G$ es bipartito, podemos separar +$V(G)=A\cup B, A\cap B=\varnothing$ de manera que las aristas de $G$ tienen un +extremo en $A$ y otro en $B$. +Esto induce una partición de los vértices de $\mathbb{C}_{2k+1}$ +\begin{gather*} + V(\mathbb{C}_{2k+1})=X \cup Y\\ + \text{con } X\cap Y = \varnothing\\ + X \subseteq A \wedge Y\subseteq B +\end{gather*} + +Es decir las aristas de $\mathbb{C}_{2k+1}$ deben tener un extremo en $X$ y el +otro en $Y$. +Hay $2k+1$ aristas. + +Digamos que $1\in X\rightarrow 2\in Y \Rightarrow 3\in X \Rightarrow \cdots +2k+1\in \mathbb{X}$ + +Pero $\{1,2k+1\}\in\mathbb{E} +(\mathbb{C}_{2k+1}) +\subseteq E(G)\Rightarrow\Leftarrow$ + +\definicion +\begin{align*} + \text{diam}(G) &= \max_{x,y} \text{ dist}(x,y)\\ + \text{dist}(G) &= \min_{xPy} + \underbrace + { + | E(xPy) | + }_ + { + \text{Largo del camino} + } +\end{align*} + +$E(xPy)$ Conjunto de aristas del camino entre $x$ y $y$. + +\begin{align*} + \text{diam}(\mathbb{K}_n) &= + \begin{cases} + 1&n>1\\ + 0 &n=1 + \end{cases} + \\ + \text{diam}(\mathbb{S}_n) &= + \begin{cases} + 1 & n=1\\ + 2 &n>1 + \end{cases} + \\ + \text{diam}(\mathbb{A}_n) &= + \begin{cases} + \infty &n>1\\ + 1 &n=1 + \end{cases}\\ + \text{diam}(\mathbb{P}_n) &= n-1\\ + \text{diam}(\omega_n) &= + \begin{cases} + 2 &n >3\\ + 1 &n =3 + \end{cases}\\ + \text{diam}(\phi_n) &= + \begin{cases} + \infty &n >1\\ + 0 &n =1 + \end{cases}\\ + \text{diam}(\mathbb{C}_n) &= + \begin{cases} + \frac{n}{2} &n\in \dot{2}\\ + \lfloor \frac{n}{2} \rfloor &n \notin \dot{2} + \end{cases} + = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor +\end{align*} + +\end{document} +%}}}