From d1e796162dba12a50c098f3056e8242404985346 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: otreblan Date: Fri, 15 Nov 2019 18:26:21 -0500 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Coloraci=C3=B3n?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ima/clase36/PLACEHOLDER | 0 ima/clase36/dibujo-1.svg | 282 +++++++++++++++++++++++++++++ ima/clase36/dibujo-2.svg | 248 +++++++++++++++++++++++++ ima/clase36/dibujo-3.svg | 380 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ima/clase36/dibujo-4.svg | 156 ++++++++++++++++ ima/clase36/dibujo-5.svg | 332 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ main.sty | 4 +- main.tex | 1 + tex/clase36.tex | 244 +++++++++++++++++++++++++ 9 files changed, 1646 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 ima/clase36/PLACEHOLDER create mode 100644 ima/clase36/dibujo-1.svg create mode 100644 ima/clase36/dibujo-2.svg create mode 100644 ima/clase36/dibujo-3.svg create mode 100644 ima/clase36/dibujo-4.svg create mode 100644 ima/clase36/dibujo-5.svg create mode 100644 tex/clase36.tex diff --git a/ima/clase36/PLACEHOLDER b/ima/clase36/PLACEHOLDER new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/ima/clase36/dibujo-1.svg b/ima/clase36/dibujo-1.svg new file mode 100644 index 0000000..4c7e195 --- /dev/null +++ b/ima/clase36/dibujo-1.svg @@ -0,0 +1,282 @@ + + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + + + + + $a$ + $b$ + $c$ + $d$ + $e$ + $f$ + $g$ + $h$ + + + + + $\{g,d\}$ + $\{b,f\}$ + $\{a,e\}$ + $\{c,h\}$ + + diff --git a/ima/clase36/dibujo-2.svg b/ima/clase36/dibujo-2.svg new file mode 100644 index 0000000..7898a92 --- /dev/null +++ b/ima/clase36/dibujo-2.svg @@ -0,0 +1,248 @@ + + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + + + + + $a$ + $b$ + $c$ + $d$ + $e$ + $f$ + $g$ + $h$ + + + $\{b,c,e,g\}$ + $\{a,d,h,f\}$ + + diff --git a/ima/clase36/dibujo-3.svg b/ima/clase36/dibujo-3.svg new file mode 100644 index 0000000..53c1e1a --- /dev/null +++ b/ima/clase36/dibujo-3.svg @@ -0,0 +1,380 @@ + + + + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + $G$ + + diff --git a/ima/clase36/dibujo-4.svg b/ima/clase36/dibujo-4.svg new file mode 100644 index 0000000..f89c1ff --- /dev/null +++ b/ima/clase36/dibujo-4.svg @@ -0,0 +1,156 @@ + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + $G_1$ + + 2 + + 0 + + 1 + + + + + + diff --git a/ima/clase36/dibujo-5.svg b/ima/clase36/dibujo-5.svg new file mode 100644 index 0000000..76d96b5 --- /dev/null +++ b/ima/clase36/dibujo-5.svg @@ -0,0 +1,332 @@ + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + $G_2$ + + 02 + + 00 + + 01 + + + + + 12 + + 10 + + 11 + + + + + 22 + + 20 + + 21 + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/main.sty b/main.sty index 50b22da..6de437a 100644 --- a/main.sty +++ b/main.sty @@ -15,6 +15,7 @@ \usepackage{setspace} \usepackage{subfiles} \usepackage{currfile} +\usepackage{nameref} \doublespacing @@ -39,11 +40,12 @@ } % Partes que usa Renom -\newcommand{\teorema}{\subsection*{Teorema:}} +\newcommand{\conjetura}{\subsection*{Conjetura:}} \newcommand{\definicion}{\subsection*{Definición:}} \newcommand{\demostracion}{\subsection*{Demostración:}} \newcommand{\observacion}{\subsection*{Observación:}} \newcommand{\receta}{\subsection*{Receta:}} +\newcommand{\teorema}{\subsection*{Teorema:}} % Esto sirve para poner ecuaciones \usepackage{alphalph} diff --git a/main.tex b/main.tex index 7288389..0839041 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -56,6 +56,7 @@ \subfile{tex/clase33} \subfile{tex/clase34} \subfile{tex/clase35} +\subfile{tex/clase36} \end{document} %}}} diff --git a/tex/clase36.tex b/tex/clase36.tex new file mode 100644 index 0000000..71ee79f --- /dev/null +++ b/tex/clase36.tex @@ -0,0 +1,244 @@ +\makeatletter +\def\input@path{{../}} +\makeatother +\documentclass[../main.tex]{subfiles} + +\graphicspath{{ima/clase36}{../ima/clase36}} + +% Aquí empieza el documento{{{ +\begin{document} +\chapter{Coloración}% + +\thispagestyle{fancy} + +Un grafo $G$ es bipartito si existen conjuntos $A$ y $B$ tales que +$V(G)=A\cup B \quad A\cap B=\varnothing$ y todas las aristas de $G$ tienen un +extremo en $A$ y $B$. + +\begin{align*} + \text{dist}_G (x,y) &= \min_{xPy}|E(xPy)|\\ + \text{diam} (x,y) &= \max_{x,y}|dist(x,y)| +\end{align*} + +\section{Coloraciones}% +\label{sec:coloraciones} + +\definicion +Una $m$-coloración(propia) de los vértices de un grafo es una función +$f:V(G)\longrightarrow[m]$ tal que los extremos de las aristas de $G$ son de +colores diferentes. + +Es decir si $\{x,y\}\in E(G)\quad f(x) \neq f(y) \quad\forall \{x,y\}\in E(G)$ + +\begin{figure}[H] + \centering + \boldmath + \includesvg[width=0.6\linewidth]{dibujo-1} +\end{figure} + +\teorema +Si $G$ es bipartito entonces $G$ no tiene ciclos impares. + +\teorema +Si $G$ es bipartito entonces existe una 2-coloración de los vértide de $G$. + +\teorema +Si $G$ admite una 2-coloración entonces $G$ es bipartito. + +$\mathbb{K}_n$ admite una $n$-coloración. + +$\mathbb{K}_n$ no admite ninguna $m$-coloración con $m 1 \text{ si }|E(G)|\geq 1 +\] +Colorario: +\[ + \chi(\phi_n)=1 +\] + +\begin{align*} + |E(G)|\geq 1 &\Rightarrow \chi(G)>1\\ + \neg(\chi(G)>1) &\Rightarrow \neg(|E(G)|\geq 1)\\ + \chi(G) \leq 1 &\Rightarrow |E(G)|<1\\ + \\ + \chi(G)=1 &\qquad |E(G)|=0 +\end{align*} + +\definicion +\dobledef +{ + Un grafo es $k$-partito si existe una $k$-coloración de sus vértices.% +} +{% + Sin embargo: $|V(G)|\geq k$% +} + +De manera equivalente deben existir. $k$ conjuntos $A_i$ con $i\in[k]$ tales +que: +\[ + \bigcup_{i=1}^k = V(G) \text{ y } A_i\cap A_j=\varnothing\quad\forall i\neq j +\] +y las aristas de $G$ tienen extremos en conjuntos distintos. + +\begin{figure}[H] + \centering + \boldmath + \includesvg[width=0.6\linewidth]{dibujo-3} +\end{figure} + +\teorema +\dobledef{$\text{cono}(G)$ solo es bipartito si $G=\phi_n$}{Para crear un cono +hay que tomar un grafo $G$, agregarle un vértice y añadir vértices entre +todos los vértices de $G$ y el nuevo vértice.} + +\conjetura +\[ + \chi(\text{cono}(G))=\chi(G)+1 +\] + +\subsection*{Conjetura}% +\label{sub:conjetura} + +\[ + \chi(\text{cono}(G))\leq\chi(G)+1 +\] + +\demostracion +De manera trivial coloreamos $G$ con $\chi(G)$ colores y el vértice adicional +con el color nuevo. + +\[ + \substack + {% + \text{¿Podría}\\ + \text{esto ser}\\ + \text{verdad?} + } + \quad + \chi(\text{cono}(G)) < \chi(G) +\] +No. Por lo tanto +\[ + \chi(\text{cono}(G)) \geq \chi(G) +\] + +¿Será que podemos decir $\chi(\text{cono}(G))=\chi(G)+1$ siempre? + +\begin{enumerate} + \item $\chi(\text{cono}(G))\leq \chi(G)+1$ + \item $\chi(\text{cono}(G))\geq \chi(G)$ + \item Hay grafos donde $\chi(\text{cono}(G))\neq\chi(G)$ +\end{enumerate} + +Sea $f$ una coloración de $\text{cono}(G)$ con el mínimo número posible de +colores (son $\chi(\text{cono}(G))$ colores) + +¿De qué color es el +\( + \underset + { + x_0 + } + { + \text{vértice} + } +\) +de $\text{cono}(G)$? + +El vértice de $\text{cono}(G)$ es de un color diferente a todos los colores de +los vértices con la coloración propia que da $f$. + +Esto quiere decir que $f(x)\neq f(x_0)\quad\forall x\in V(G)$ por lo que $f$ +colorea a $G$ con $\chi(\text{cono}(G))-1$. + +\begin{align*} + \chi(\text{cono}(G)) - 1 &\geq \chi(G)\\ + \chi(\text{cono}(G)) &\geq \chi(G)+1\\ +\end{align*} + +Usando \nameref{sub:conjetura}: +\[ + \chi(\text{cono}(G)) = \chi(G)+1 +\] + +\begin{align*} + V(G_n) &= + \left\{ + \underbrace + { + \overbrace + { + x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_2 x_1 x_0 + }^ + { + \substack + { + \text{Secuencias en}\\ + \text{ternario}\\ + \text{con $n$ trits.}\\ + } + } + }_ + { + \text{$n$-trits} + } + : + \underset + { + i\in[n-1]\cup\{0\} + } + { + x_i \in\{0,1,2\} + } + \right\}\\ + E(G_n) &= + \left\{ + \{\vec{x},\vec{y}\}: + \substack + { + \text{Si $\vec{x}$ y $\vec{y}$}\\ + \text{difieren}\\ + \text{exactamente}\\ + \text{en unn trit.}\\ + } + \right\} +\end{align*} + + +\begin{figure}[H] + \centering + \boldmath + \includesvg[width=0.4\linewidth]{dibujo-4} +\end{figure} + +\begin{figure}[H] + \centering + \boldmath + \includesvg[width=0.9\linewidth]{dibujo-5} +\end{figure} + + +\end{document} +%}}}