From 9c7fca9568cf5335b80e09d4c4030a2a49df52db Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: otreblan Date: Mon, 16 Sep 2019 17:04:23 -0500 Subject: [PATCH] Clase 11 --- Makefile | 2 +- ima/clase11/PLACEHOLDER | 0 ima/clase11/dibujo.svg | 478 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ main.sty | 2 +- main.tex | 1 + tex/clase10.tex | 28 ++- tex/clase11.tex | 237 ++++++++++++++++++++ 7 files changed, 731 insertions(+), 17 deletions(-) create mode 100644 ima/clase11/PLACEHOLDER create mode 100644 ima/clase11/dibujo.svg create mode 100644 tex/clase11.tex diff --git a/Makefile b/Makefile index a197240..c5bbea1 100644 --- a/Makefile +++ b/Makefile @@ -7,4 +7,4 @@ default: $(TARGET) latexmk -pdf $< clean: - git clean -fX + git clean -fxd diff --git a/ima/clase11/PLACEHOLDER b/ima/clase11/PLACEHOLDER new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/ima/clase11/dibujo.svg b/ima/clase11/dibujo.svg new file mode 100644 index 0000000..98857cc --- /dev/null +++ b/ima/clase11/dibujo.svg @@ -0,0 +1,478 @@ + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/main.sty b/main.sty index 6e814f4..d188025 100644 --- a/main.sty +++ b/main.sty @@ -23,7 +23,7 @@ % Definiciones dobles \newcommand{\dobledef}[2] {% - #1 \textcolor{red}{(#2)}% + #1 \textbf{\textcolor{red}{(#2)}}% } % Partes que usa Renom diff --git a/main.tex b/main.tex index 4847159..0ba348b 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -13,6 +13,7 @@ \subfile{tex/clase08} \subfile{tex/clase09} \subfile{tex/clase10} +\subfile{tex/clase11} \end{document} %}}} diff --git a/tex/clase10.tex b/tex/clase10.tex index 410ec8e..af26855 100644 --- a/tex/clase10.tex +++ b/tex/clase10.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[../main.tex]{subfiles} -\graphicspath{{../ima/clase10}{../ima}} +\graphicspath{{ima/clase10}{ima}} % Aquí empieza el documento{{{ \begin{document} @@ -157,31 +157,29 @@ \section{Perdí mis apuntes de discretas I}% ¿De cuantas formas podemos seleccionar $k$ objetos entre $n$ objetos distintos y ordenarlos en una fila de largo $k$? \begin{align*} - \frac{n!}{(n-k)} = \bigvee^n_k \text{\ variaciones de $n$ en $k$} + \frac{n!}{(n-k)!} = \bigvee^n_k \text{\ variaciones de $n$ en $k$} \end{align*} ¿De cuántas formas podemos seleccionar $k$ objetos de entre $n$ objetos distintos? (Creo que es lo anterior pero sin ordenar) \begin{align*} \frac{\bigvee^n_k}{k!}= C^n_k = - \begin{pmatrix} - n\\ - k - \end{pmatrix} + \binom{n}{k} \end{align*} \textbf{Calcula usando combinaciones } \begin{align*} - \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} - n\\ - k - \end{pmatrix}\\ - \sum^n_{k=0}(-1)^k - \begin{pmatrix} - n\\ - k - \end{pmatrix} + &\sum^n_{k=0}\binom{n}{k}\\ + &\sum^n_{k=0}(-1)^k\binom{n}{k} \end{align*} +\textbf{Solución:} +\[ + \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n +\] +El lado izquierdo cuenta el número de subconjunto de tamaño $k$ +de $[n]$ y suma todas las posibilidades para $k$ entre $0$ y $n$ + +El lado derecho cuenta el número de subconjuntos de $[n]$. \end{document} %}}} diff --git a/tex/clase11.tex b/tex/clase11.tex new file mode 100644 index 0000000..d0f544d --- /dev/null +++ b/tex/clase11.tex @@ -0,0 +1,237 @@ +\documentclass[../main.tex]{subfiles} + +\graphicspath{{ima/clase11}{ima}} + +% Aquí empieza el documento{{{ +\begin{document} + +\chapter*{Clase 11}% + +\thispagestyle{fancy} + +\definicion +Conteo: Si $A$ y $B$ son finitos: +\begin{itemize} + \item \dobledef{$|A\times B|=|A|*|B|$}{Principio de multiplicación} \textbf{Regla del producto} + \item \dobledef + { + \begin{align*} + \text{Si }A\cap B &= \cancel{O}\\ + |A\cup B| &= |A|+|B| + \end{align*} + } + {Principio de la suma} \textbf{Regla de la suma} + \item + \begin{align*} + f&:A \longrightarrow B && \text{$f$ total sobreyectiva}\\ + |A| &= k|B| && \text{y $k:1$ $k\in\mathbb{N}$}\\ + \frac{|A|}{k} &= |B| + \end{align*} + \dobledef{}{Principio de división} + \textbf{Regla del cociente} +\end{itemize} + +¿Qué pasa si $A\cap B \neq \cancel{O}$? + +\textcolor{red} +{ + \begin{align*} + A\cap B \neq \cancel{O} \Rightarrow\\ + \exists x \in \Omega:x\in A \wedge x \in B + \end{align*} +} +\begin{align*} + |A\cup B| &= \overbrace{|A-B|+|A\cap B|}^{|A|}+|B-A|\\ + \\ + |A\cup B| &= |A| + |B-A|\\ + |A\cup B| &= |A-B|+|B|\\ + |A\cup B| &= |A|+|B|- |A\cap B| +\end{align*} +\textbf{\textcolor{red}{Demostración:}} +\begin{align*} + (A-B)\cup(A\cap B) &= A\\ + |A| &= |A-B|+||A\cap B|\\ + |B| &= |B-A|+||B\cap A|\\ + \\ + A\cup(B-A) &= A\cup B\\ + A\cup(B-A) &= \cancel{O}\\ + \\ + |A|+|B-A| &= |A\cup B|\\ + |B|+|A-B| &= |B\cup A| +\end{align*} + +\begin{align*} + A\cup B &= A \cup(B-A)\\ + |A\cup B| &= |A| + |B-A|\\ + |A\cup B| &= |A| + (|B|-|A\cap B|)\\ + |A\cup B| &= |A| + |B| - |A\cap B| +\end{align*} + +\definicion +\textbf{Principio de inclusión-exclusión}\\ +$|A|,|B|<\infty$ +\[ + |A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B| +\] + +\subsection*{Problema:}% + +En el menú \underline{DUOLINGO} el dueño dice que puede comer distinto todos los días +del años. + +El menú tiene: +\begin{itemize} + \item 3 entradas + \item 5 fondos + \item 7 postres + \item 2 bebidas +\end{itemize} +\begin{enumerate} + \item Si un almuerzo consiste en tomar una entrada, un fondo, un postre, +y una bebida. +¿Es verdadera la afirmación del dueño? + +\textbf{\textcolor{red}{Regla del producto:\[3*5*7*2=210 < 366\]}} + +\textbf{La afirmación es mentira.} + +\item Si un almuerzo puede consistir en lo que definimos antes +o una cosa donde falte alguno de los componentes. +¿Es verdad la afirmación? +\[ + \overbrace{(3+1)+(5+1)+(7+1)+(2+1)-1}^ + {\substack{\text{Una opción más: nada.}\\ + \text{Pero $4$ nadas no cuenta como menú} + }}=575>366 +\] +\textbf{Ahora la afirmación es verdadera.} + +\item La sunat define \textbf{Almuerzo} como comer +al menos un fondo y bebida. +\[ + (3+1)*(5)*(7+1)*(2) = 320 +\] + +\textbf{Preso por falsa publicidad} + +\item Si se define que el almuerzo debe tener al menos un fondo +y una bebida, una o dos entradas y postre o no postre. + +\end{enumerate} + +Entradas: +\[ + \underbrace{3+\Bigg{(}\overbrace{\binom{3}{2}}^{\substack{\text{Entradas}\\\text{distintas}} } + +\overbrace{\binom{3}{1}}^{\substack{\text{Entradas}\\\text{iguales}} }\Bigg{)}}_ + {\text{Entrada}} +\] + +Fondo: +\[ + \binom{5}{1} +\] + +Postre: +\[ + \Bigg{(} + \overbrace{\binom{7}{1}}^{\text{$1$ postre}}+ + \overbrace{\binom{7}{0}}^{\text{Ningún postre}} + \Bigg{)} +\] + +Bebida: +\[ + \binom{2}{1} +\] +\[ + \boxed{(3+(3+3))*5*(7+1)*2=720} +\] +{\Huge + \[ + \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} + \] +} +\begin{align} + \intertext{Demostración aburrida:} + \binom{n}{k} &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \\ + \binom{n}{n-k} &= \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} = \frac{n!}{(n-k)!k!} +\end{align} + +\begin{align*} + \Omega \quad &A\subseteq\Omega\\ + \overline{A} &= \Omega-A\\ + \overline{(.)}&:\mathbb{P}(\Omega)\rightarrow\mathbb{P}(\Omega)\\ + \overline{A} &= \Omega -A +\end{align*} +$\overline{(.)}$ Es: +\begin{itemize} + \item Total + \item Inyectiva + \item Sobreyectiva +\end{itemize} +Por lo tanto es $|:|$ + +$\binom{n}{k}=$ número de formas de hacer un conjunto con $k$ elementos +de un universo con $n$ elemento. + +$\binom{n}{n-k}= $ número de formas de hacer un conjunto de $n-k$ elementos +de un universo de $n$ elementos. + +\dobledef{El lado izquierdo selecciona directamente $k$ cosas distintas sin orden +de un universo con $n$} +{El lado derecho selecciona $n-k$ cosas del universo de $n$ que serán descartadas +para formar el conjunto de $k$ cosas.} + +\begin{itemize} + \item ¿De cuantás formas podemos seleccionar $2$ colores de $5$? + \[\binom{5}{2}=10\] + \item ¿De cuantás formas podemos seleccionar $5$ colores de $2$? + \[\binom{2}{5}=10\] +\end{itemize} +\begin{figure}[H] + \centering + \includesvg[width=0.4\linewidth]{dibujo} +\end{figure} +\[ + \binom{n}{k}= 0 \text{ Si } k>n\wedge k<0 +\] +\[ + \binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1} +\] +El lado izquierdo cuenta el número de formas de seleccionar +$k$ de un universo de $n+1$ cosas diferentes. +\textbf{Puedo decir que una de esas cosas es especial. (EL HUEVO PODRIDO)} + +{\Huge + \[ + \underbrace + { + \underbrace{\binom{n}{k}}_ + {\substack{\text{Contar conjuntos}\\ + \text{de tamaño}\\ + \text{$k$ que no}\\ + \text{tienen al}\\ + \text{huevo podrido} }} + +\underbrace{\binom{n}{k-1}}_ + {\substack{\text{Contar conjuntos}\\ + \text{de tamaño}\\ + \text{$k$ que \textbf{sí}}\\ + \text{tienen al}\\ + \text{huevo podrido} }} + }_ + {\substack{\text{Cualquier conjunto de tamano $k$ extraído}\\ + \text{del universo de $n+1$ cosas o tiene}\\ + \text{al huevo podrido o no tiene al huevi podrido.} }} + \] +} + +Sabemos que hay $2^n$ +\[ + f:[n]\longrightarrow\mathbb{B} +\] +funciones booleanas \underline{totales} diferentes + +\textcolor{red}{ \textbf{¿Cuántas funciones de la forma $\mathbf{g:[n] +\longrightarrow\mathbb{B}}$ hay?}} +\end{document} +%}}}