01-Hasznos_matematikai_formulak.lyx

#LyX 2.2 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 508
\begin_document
\begin_header
\save_transient_properties true
\origin unavailable
\textclass article
\use_default_options false
\master master.lyx
\begin_modules
theorems-std
\end_modules
\maintain_unincluded_children false
\language magyar
\language_package babel
\inputencoding utf8x
\fontencoding default
\font_roman "default" "default"
\font_sans "default" "default"
\font_typewriter "default" "default"
\font_math "auto" "auto"
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100 100
\font_tt_scale 100 100
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref true
\pdf_bookmarks false
\pdf_bookmarksnumbered false
\pdf_bookmarksopen false
\pdf_bookmarksopenlevel 1
\pdf_breaklinks false
\pdf_pdfborder false
\pdf_colorlinks false
\pdf_backref section
\pdf_pdfusetitle false
\papersize default
\use_geometry true
\use_package amsmath 2
\use_package amssymb 2
\use_package cancel 0
\use_package esint 1
\use_package mathdots 0
\use_package mathtools 0
\use_package mhchem 0
\use_package stackrel 0
\use_package stmaryrd 0
\use_package undertilde 0
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 0
\boxbgcolor #55aaff
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\leftmargin 1cm
\topmargin 2cm
\rightmargin 1cm
\bottommargin 2cm
\headheight 1cm
\headsep 1cm
\footskip 1cm
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language english
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 2
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Part
Néhány hasznos matematikai formula
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset href
LatexCommand href
name "Gauss-integrál"
target "https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Vezessük le a következő integrált:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
I=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^{2}}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}.\label{eq:gauss-0}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset

Célszerű a kifejezés négyzetét vizsgálni!
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\label{eq:gauss-levezet-1}
\end{equation}

\end_inset

Az integrált írjuk át polárkoordinátákba!
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
x & = & r\cos\varphi,\label{eq:gauss-polar}\\
y & = & r\sin\varphi,\nonumber \\
\mathrm{d}x\mathrm{d}y & = & r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

A keresett integrál a következő alakot ölti:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
I^{2}=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{e}^{-r^{2}}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r=2\pi\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-r^{2}}r\mathrm{d}r.\label{eq:gauss-levezet-2}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\emph on
\color blue
Megjegyzés:
\emph default
 Vegyük észre, hogy míg a polárkoordinátáknál 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

-tól 
\begin_inset Formula $\infty$
\end_inset

-ig integráltunk, az eredeti integrálunk 
\begin_inset Formula $-\infty$
\end_inset

-től 
\begin_inset Formula $\infty$
\end_inset

-ig megy.
 Itt nem követtünk el semmilyen matematikai hibát ugyanis ezt a szögfüggéssel
 figyelembe vettük a polárkoordináták segítségével.
\color inherit

\begin_inset Newline newline
\end_inset

Végezzünk el még egy változó cserét!
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
u & = & r^{2},\label{eq:gauss-rtou}\\
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r} & = & 2r\rightarrow\mathrm{d}r=\frac{\mathrm{d}u}{2r}.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Így már elemi integrációs szabályokkal kiértékelhető összefüggésre jutunk:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
I^{2}=2\pi\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{2}\mathrm{d}u=\pi\left[-\mathrm{e}^{-u}\right]_{0}^{\infty}=\pi.\label{eq:gauss-levezet-3}
\end{equation}

\end_inset

A keresett integrál tehát:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^{2}}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}.\label{eq:gauss-eredmeny}
\end{equation}

\end_inset

Egy egyszerű változó cserével lássuk be a Gauss-integrál egyszerű általánosításá
t:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-ax^{2}}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.\label{eq:gauss-scaled}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{align}
ax^{2} & =t^{2},\\
\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x} & =\sqrt{a}\rightarrow\mbox{d}t=\sqrt{a}\mbox{d}x.
\end{align}

\end_inset

Kapjuk tehát, hogy
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-ax^{2}}\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-t^{2}}\frac{\mbox{d}t}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shadowbox
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width "90col%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Exercise
Lássuk be, hogy ha 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

 valós szám akkor:
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-ax^{2}+bx+c}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^{2}}{4a}+c}\label{eq:gauss-alltalanos}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Útmutatás:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Alakítsuk teljes négyzetté a kitevőben szereplő polinomot! 
\end_layout

\begin_layout Itemize
A Gauss-integrál invariáns az integrandus 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

eltolására
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

! 
\end_layout

\begin_layout Itemize
A négyzetes tag együtthatójától egy alkalmas változó cserével szabadulhatunk
 meg.
 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
A 
\begin_inset CommandInset href
LatexCommand href
name "Gamma-függvény"
target "https://hu.wikipedia.org/wiki/Gamma-f%C3%BCggv%C3%A9ny"

\end_inset

 néhány tulajdonsága
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
placement H
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename Fig/Gamma.png
	lyxscale 40
	width 50text%

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
A Gamma függvény
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:A-Gamma-fuggveny"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
A Gamma-függvény:
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-t}t^{x-1}\mathrm{d}t,\quad\mathrm{Re}(x)>0,\label{eq:gamma-def}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A fenti definíció segítségével lássuk be, hogy
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\Gamma(x+1)=x\Gamma(x).\label{eq:gamma-plusone}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\Gamma(x+1) & = & \int_{0}^{\infty}\underbrace{\mbox{e}^{-t}}_{v'}\underbrace{t^{x}}_{u}\mbox{d}t\label{eq:gamma-levezet-1}\\
 & = & \underbrace{[t^{x}(-\mbox{e}^{-t})]_{0}^{\infty}}_{0}-\int_{0}^{\infty}\underbrace{-\mbox{e}^{-t}}_{v}\underbrace{xt^{x-1}}_{u'}\mbox{d}t\\
 & = & x\int_{0}^{\infty}\mbox{e}^{-t}t^{x-1}\mbox{d}t\\
 & = & x\Gamma(x)
\end{eqnarray}

\end_inset

ahol kihasználtuk a parciális integrálás szabályát
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\int u(t)v'(t)\mbox{d}t=u(t)v(t)-\int u'(t)v(t)\mbox{d}t
\end{equation}

\end_inset

és az alábbi két ismert összefüggést
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\int\mbox{e}^{\alpha t}\mbox{d}t & = & \frac{\mbox{e}^{\alpha t}}{\alpha},\\
\partial_{t}t^{\alpha} & = & \alpha t^{\alpha-1}.
\end{eqnarray}

\end_inset

Lássuk be a következő két összefüggést is!
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\Gamma(1) & = & 1\label{eq:gamma-one}\\
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) & = & \sqrt{\pi}\label{eq:gamma-half}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\Gamma(1) & = & \int_{0}^{\infty}\mbox{e}^{-t}t^{1-1}\mbox{d}t\\
 & = & \int_{0}^{\infty}\mbox{e}^{-t}\mbox{d}t\\
 & = & [-\mbox{e}^{-t}]_{0}^{\infty}=1
\end{eqnarray}

\end_inset

Felhasználva a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:gamma-plusone"

\end_inset

) és (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:gamma-one"

\end_inset

) összefüggéseket a 
\begin_inset Formula $\Gamma(x)$
\end_inset

 függvényt tetszőleges pozitív egész számokra meghatározhatjuk:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\Gamma(2) & = & 1\Gamma(1)=1\\
\Gamma(3) & = & 2\Gamma(2)=2\cdot1\\
\Gamma(4) & = & 3\Gamma(3)=3\cdot2\cdot1
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\Gamma(n)=(n-1)!\quad n\in\mathbb{N}\label{eq:gamma-factorial}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\Gamma(1/2) & = & \int_{0}^{\infty}\mbox{e}^{-t}t^{1/2-1}\mbox{d}t\\
 & = & \int_{0}^{\infty}\frac{\mbox{e}^{-t}}{t^{1/2}}\mbox{d}t
\end{eqnarray}

\end_inset

Hajtsuk végre a következő változó cserét:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
u & = & t^{1/2},\\
\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}t} & = & \frac{1}{2}\frac{1}{t^{1/2}}.
\end{eqnarray}

\end_inset

Így kapjuk, hogy
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{\infty}\frac{\mbox{e}^{-t}}{t^{1/2}}\mbox{d}t & = & \int_{0}^{\infty}\mbox{e}^{-u^{2}}2\mbox{d}u,\\
 & = & \int_{-\infty}^{\infty}\mbox{e}^{-u^{2}}\mbox{d}u=\sqrt{\pi}.
\end{eqnarray}

\end_inset


\begin_inset Float figure
placement H
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename Fig/Stirling.png
	lyxscale 40
	width 40text%

\end_inset


\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
A Stirling-formula levezetése során alkalmazott közelítés 
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Stirling formula-integrand"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Formula $\quad\quad\quad\quad$
\end_inset


\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename Fig/Stirling-approx.png
	lyxscale 40
	width 40text%

\end_inset


\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
A Stirling-formula és a 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

-függvény 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Stirling közelítés
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Termodinamikai határesetek vizsgálata során sokszor fogunk találkozni olyan
 esetekkel amikor a 
\begin_inset Formula $\Gamma(n)$
\end_inset

 függvényt a 
\begin_inset Formula $n\gg1$
\end_inset

 értékekre kell kiértékelnünk.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Lássuk be a következő hasznos közelítő formulát:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\begin_inset CommandInset href
LatexCommand href
name "Stirling-formula:"
target "https://hu.wikipedia.org/wiki/Stirling-formula"

\end_inset


\series default

\begin_inset Formula 
\begin{equation}
n!=n^{n}\mbox{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}\left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\label{eq:stirling-formula}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{align}
n! & =\Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty}\mbox{e}^{-t}t^{n}\mbox{d}t\label{eq:stirling-init}\\
 & =\int_{0}^{\infty}\mbox{e}^{-t+n\ln t}\mbox{d}t\nonumber \\
 & =\int_{0}^{\infty}\mbox{e}^{-f_{n}(t)}\mbox{d}t,\nonumber \\
f_{n}(t) & =t-n\ln t.
\end{align}

\end_inset

Fejtsük sorba az 
\begin_inset Formula $f_{n}(t)$
\end_inset

 függvényt a minimuma körül!
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\partial_{t}f_{n}(t)=1-\frac{n}{t},
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\partial_{t}f_{n}(t_{0})=0\rightarrow t_{0}=n.
\end{equation}

\end_inset

Elegendő elvégezni a sorfejtést másod rendig.
 Azaz a következő közelítéssel élünk:
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
f_{n}(t)\approx f_{n}(t_{0})+\partial_{t}f_{n}(t_{0})\left(t-t_{0}\right)+\frac{1}{2}\partial_{t}^{2}f_{n}(t_{0})\left(t-t_{0}\right)^{2},
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\partial_{t}^{2}f_{n}(t)=\frac{n}{t^{2}}\rightarrow\partial_{t}^{2}f_{n}(t_{0})=\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n},
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
f_{n}(t)\approx n-n\ln n+\underbrace{\partial_{t}f_{n}(t_{0})\left(t-t_{0}\right)}_{\text{by def}=0}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\right)\left(t-n\right)^{2}.
\end{equation}

\end_inset

Visszaírva ezt a 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:stirling-init"

\end_inset

 kifejezésbe:
\begin_inset Formula 
\begin{align}
n! & =\int_{0}^{\infty}\mbox{e}^{-t}t^{n}\mbox{d}t\\
 & =\int_{0}^{\infty}\mbox{e}^{-f_{n}(t)}\mbox{d}t\nonumber \\
 & \approx\mbox{e}^{-\left(n-n\ln n\right)}\int_{0}^{\infty}\mbox{e}^{-\frac{\left(t-n\right)^{2}}{2n}}\mbox{d}t.\nonumber 
\end{align}

\end_inset

A kifejezésben szereplő integrál alsó határát kiterjeszthetjük 
\begin_inset Formula $-\infty$
\end_inset

-ig hiszen feltettük, hogy 
\begin_inset Formula $n\gg1$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{align}
n! & \approx\mbox{e}^{-\left(n-n\ln n\right)}\int_{-\infty}^{\infty}\mbox{e}^{-\frac{\left(t-n\right)^{2}}{2n}}\mbox{d}t\\
 & =\mbox{e}^{-\left(n-n\ln n\right)}\sqrt{2\pi n}.\nonumber 
\end{align}

\end_inset

Ahol felhasználtuk a Gauss-integrálra vonatkozó 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:gauss-scaled"

\end_inset

 azonosságot.
 A kapott eredmény pedig nem más mint maga a 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:stirling-formula"

\end_inset

 Stirling-formula.
 Sokszor fogunk találkozni a Stirling-formula logaritmusával: 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\ln n!\approx n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln\left(2\pi n\right)\label{eq:stirling-log}
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\ln\Gamma(n)\approx n\ln n-n+\mathcal{O}\left(\ln n\right)\label{eq:stirling-gamma}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

-dimenziós gömb térfogata
\end_layout

\begin_layout Standard
Sokszor szükségünk lesz több dimenziós integrálok elvégzésére.
 Ezen integrálok elvégzésében rendszerint segítségünkre lesz az adott dimenzióbe
li gömb térfogata.
 Vizsgáljuk meg hát, hogy hogyan függ a térfogat kifejezése a dimenziótól:
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="6" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
dimenzió
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $V_{D}(r)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $S_{D}(r)\mathrm{d}r$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2r$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2\mathrm{d}r$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\pi r^{2}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2\pi r\mathrm{d}r$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\frac{4}{3}\pi r^{3}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $4\pi r^{2}\mathrm{d}r$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\vdots$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $D$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $C_{D}r^{D}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $C_{D}Dr^{D-1}\mathrm{d}r$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Egy adott dimenzióban egy adott sugarú gömb térfogata 
\begin_inset Formula $V_{D}(r)$
\end_inset

 és a felülete között az alábbi általános összefüggés teremt kapcsolatot:
\begin_inset Formula 
\begin{align}
V_{D}(r) & =\int_{0}^{r}S_{D}(\varrho)\mbox{d}\varrho,\\
C_{D}r^{D} & =C_{D}D\int_{0}^{r}\varrho^{D-1}\mbox{d}\varrho
\end{align}

\end_inset

Határozzuk meg 
\begin_inset Formula $C_{D}$
\end_inset

értékét! Induljunk ki 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 darab Gauss-integrál szorzatából: 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left[\int_{-\infty}^{\infty}\mbox{e}^{-x^{2}}\mbox{d}x\right]^{D}=\pi^{D/2}
\end{equation}

\end_inset

Mivel az integrandus 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

gömb szimmetrikus
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 ezért elég csak a sugár irányú integrálra koncentrálnunk.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\pi^{D/2} & =\int\underbrace{\mbox{e}^{-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots+x_{D}^{2}\right)}}_{e^{-r^{2}}}\overbrace{\mbox{d}x_{1}\mbox{d}x_{1}\dots\mbox{d}x_{D}}^{DC_{D}r^{D-1}\mbox{d}r}\\
 & =DC_{D}\int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}r^{D-1}\mbox{d}r\nonumber 
\end{align}

\end_inset

Alkalmazzunk egy változó cserét:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
u & = & r^{2},\\
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r} & = & 2r\rightarrow\mathrm{d}u=2r\mathrm{d}r.\nonumber \\
\mbox{d}r & = & u^{-\frac{1}{2}}\frac{\mbox{d}u}{2}
\end{eqnarray}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{align}
\pi^{D/2} & =DC_{D}\int_{0}^{\infty}e^{-u}u^{\frac{D}{2}-1}\frac{\mbox{d}u,}{2}\\
\pi^{D/2} & =C_{D}\frac{D}{2}\Gamma\left(\frac{D}{2}\right)=C_{D}\Gamma\left(\frac{D}{2}+1\right).
\end{align}

\end_inset

A keresett együttható tehát: 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
C_{D}=\frac{\pi^{D/2}}{\Gamma\left(\frac{D}{2}+1\right)}.\label{eq:D-dim-gomb-terfogat-eggyutthat}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset

Kiértékelve ezt az összefüggést vissza kapjuk a már ismert együtthatókat:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{align}
D & =1\rightarrow C_{1}=\frac{\pi^{1/2}}{\Gamma(3/2)}=\frac{\pi^{1/2}}{\frac{1}{2}\Gamma(1/2)}=2\\
D & =2\rightarrow C_{2}=\frac{\pi^{2/2}}{\Gamma\left(2\right)}=\pi\\
D & =3\rightarrow C_{3}=\frac{\pi^{3/2}}{\Gamma\left(\frac{3}{2}+1\right)}=\frac{\pi^{3/2}}{\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}=\frac{\pi^{3/2}}{\frac{3}{2}\times\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{\pi}{\frac{3}{2}\times\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}\pi
\end{align}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset href
LatexCommand href
name "Pauli mátrixok"
target "https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices"

\end_inset

 és 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

-spin algebra
\end_layout

\begin_layout Subsection
A 
\begin_inset Formula $\hat{\rho}$
\end_inset

 sűrűségmátrix általános tulajdonságai
\end_layout

\begin_layout Standard
Kvantumos rendszerek statisztikus vizsgálatában kulcs szerep jut a 
\begin_inset Formula $\hat{\rho}$
\end_inset

 sűrűségmátrixnak:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\hat{\rho} & =\sum_{\alpha}w_{\alpha}\left|\alpha\right\rangle \left\langle \alpha\right|,
\end{align}

\end_inset

ahol 
\begin_inset Formula $\left|\alpha\right\rangle $
\end_inset

 a rendszer valamely tiszta állapotát jelöli és a 
\begin_inset Formula $w_{\alpha}>0$
\end_inset

 valószínűségi súlyok összege egységnyi: 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\sum_{\alpha}w_{\alpha}=1.
\end{equation}

\end_inset

Ezekből 
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\hat{\rho} & =\hat{\rho}^{\dagger},\label{eq:suruseg-hermitikus}\\
\mathrm{Tr}\hat{\rho} & =1,\label{eq:suruseg-trace-1}\\
\mathrm{Tr}\hat{\rho}^{2} & \le1.\label{eq:suruseg2-trace-le-1}
\end{align}

\end_inset

az utolsó esetében az egyenlőség tiszta állapotokra áll fenn, azaz ha igaz,
 hogy 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\hat{\rho}=\left|\varphi\right\rangle \left\langle \varphi\right|.
\end{equation}

\end_inset


\emph on
\color blue
Megjegyzés:
\emph default
 A legegyszerűbb a 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:suruseg2-trace-le-1"

\end_inset

.
 egyenletből megkapni hogy mennyire tiszta az állapot.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Két állapotú kvantum rendszerek
\end_layout

\begin_layout Standard
A legegyszerűbb nem triviális kvantum rendszer két állapottal bír.
 Gondoljunk egy magányos elektron spin szabadsági fokára! Ebben az esetben
 a két dimenziós Hilbert-teret kifeszítő bázisvektorok választhatóak például
 a spin 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 komponensének sajátvektorjaiként:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left|\uparrow\right\rangle =\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right),\quad\left|\downarrow\right\rangle =\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right).
\end{equation}

\end_inset

Egy általános tiszta állapot ezek lineárkombinációjaként áll elő:
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left|\varphi\right\rangle =a\left|\uparrow\right\rangle +b\left|\downarrow\right\rangle =\left(\begin{array}{c}
a\\
b
\end{array}\right).
\end{equation}

\end_inset

Az állapotok normáltsága megszorítja a két kifejtési együtthatót:
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left\langle \varphi\right.\left|\varphi\right\rangle =1,\rightarrow aa^{*}+bb^{*}=1.
\end{equation}

\end_inset

Ezen a Hilbert-téren ható hermitikus operátorok, mint például a 
\begin_inset Formula $\hat{\rho}$
\end_inset

 sűrűségmátrix, a Pauli-mátrixok 
\begin_inset Formula $\sigma_{x,y,z}$
\end_inset

 és az egység mátrix 
\begin_inset Formula $\sigma_{0}$
\end_inset

 segítségével kifejthetőek.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Pauli-mátrixok:
\series default

\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\sigma_{x}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right),\quad\sigma_{y}=\left(\begin{array}{cc}
0 & -\mathrm{i}\\
\mathrm{i} & 0
\end{array}\right),\quad\sigma_{z}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}\right)
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Identitás:
\series default

\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\sigma_{0}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset

A teljesség igénye nélkül tekintsünk át néhány a Pauli-mátrixokra vonatkozó
 hasznos azonosságot! A Pauli-mátrixok négyzete az egység, illetve két Pauli-mát
rix szorzata a harmadik mátrixszal arányos (sorrendtől függően 
\begin_inset Formula $\pm\mathrm{i}$
\end_inset

 faktorral): 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\sigma_{i}\sigma_{j}=\mathrm{i}\varepsilon_{ijk}\sigma_{k}+\delta_{ij}\sigma_{0}.\label{eq:pauli-szorzat-szabaly}
\end{equation}

\end_inset

Vezessük be a Pauli-mátrixokból alkotott 
\begin_inset Formula $\vec{\sigma}$
\end_inset

 vektort: 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\vec{\sigma}=\left(\begin{array}{c}
\sigma_{x}\\
\sigma_{y}\\
\sigma_{z}
\end{array}\right)
\end{equation}

\end_inset

A 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:pauli-szorzat-szabaly"

\end_inset

 szorzat szabályokból következik, hogy: 
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\left(\vec{a}\cdot\vec{\sigma}\right)\left(\vec{b}\cdot\vec{\sigma}\right) & =a_{p}\sigma_{p}b_{q}\sigma_{q}\\
 & =\mathrm{i}\varepsilon_{pqk}a_{p}b_{q}\sigma_{k}+\delta_{pq}a_{p}b_{q}\sigma_{0}\\
 & =\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\sigma_{0}+\mathrm{i}\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{\sigma}
\end{align}

\end_inset

Mivel a Pauli-mátrixok nyoma eltűnik ezért tetszőleges lineár kombinációik
 nyoma is eltűnik: 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathrm{Tr}\left(\left(\vec{a}\cdot\vec{\sigma}\right)\right)=0.
\end{equation}

\end_inset

Szintén a szorzat szabályok és a nyomtalanság következménye, hogy
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathrm{Tr}\left(\left(\vec{a}\cdot\vec{\sigma}\right)\sigma_{i}\right)=2a_{i}.
\end{equation}

\end_inset

Pauli-mátrixok lineárkombinációjának determinánsa az együttható vektor hosszának
 négyzetével arányos: 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\det\left(\vec{a}\cdot\vec{\sigma}\right)=-\vec{a}\cdot\vec{a}=-a^{2},
\end{equation}

\end_inset

ahol
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}.
\end{equation}

\end_inset

A kvantummechanikai problémák megoldásakor számos alkalommal előfordul,
 hogy egy operátor exponenciális függvényét kell kiértékelni.
 Két állapotú rendszer esetén az operátorok exponencializáltja zárt alakban
 meghatározható 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\exp(\text{i}\alpha\left(\vec{a}\cdot\vec{\sigma}\right))=\sigma_{0}\cos\alpha+\text{i}\left(\vec{a}\cdot\vec{\sigma}\right)\sin(\alpha).\label{eq:exppauli}
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Box Shadowbox
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width "90col%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Exercise
Bizonyítsuk be 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:exppauli"

\end_inset

-t!
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Vizsgáljuk meg, hogy egy általános 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

-es hermitikus mátrix mikor lehet egy rendszer sűrűség mátrixa! Induljunk
 a legáltalánosabb alakból: 
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\hat{\rho} & =d_{0}\sigma_{0}+\vec{d}\cdot\vec{\sigma}=d_{0}\sigma_{0}+d_{x}\sigma_{x}+d_{y}\sigma_{y}+d_{z}\sigma_{z}\\
 & =\left(\begin{array}{cc}
d_{0}+d_{z} & d_{x}-\mathrm{i}d_{y}\\
d_{x}+\mathrm{i}d_{y} & d_{0}-d_{z}
\end{array}\right)
\end{align}

\end_inset

Mivel a Pauli-mátrixok nyoma zérus, ezért 
\begin_inset Formula $\sigma_{0}$
\end_inset

 együtthatóját 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:suruseg-trace-1"

\end_inset

 egyértelműen meghatározza: 
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathrm{Tr}\hat{\rho}=1\rightarrow d_{0}=\frac{1}{2}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset

A 
\begin_inset Formula $\hat{\rho}^{2}$
\end_inset

-re vonatkozó 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:suruseg2-trace-le-1"

\end_inset

 kritérium a 
\begin_inset Formula $\vec{d}$
\end_inset

 vektor hosszára ró megszorítást:
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\mathrm{Tr}\hat{\rho}^{2} & =\mathrm{Tr}\left(\left(d_{0}\sigma_{0}+\vec{d}\cdot\vec{\sigma}\right)\left(d_{0}\sigma_{0}+\vec{d}\cdot\vec{\sigma}\right)\right)\\
 & =\mathrm{Tr}\left(\left(d_{0}^{2}+d^{2}\right)\sigma_{0}\right)=2\left(d_{0}^{2}+d^{2}\right).
\end{align}

\end_inset


\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathrm{Tr}\hat{\rho}^{2}\le1\rightarrow0\le d\le\frac{1}{2}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Példák
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
a) Tiszta állapot:
\end_layout

\begin_layout Standard
A kétállapotú kvantumrendszer egy tetszőleges állapotát szokás a Bloch-gömb
 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 és 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 szögeivel paraméterezni:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left|\varphi\right\rangle =\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|\uparrow\right\rangle +\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|\downarrow\right\rangle .\label{eq:bloch_state}
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Wrap figure
lines 0
placement o
overhang 0in
width "30col%"
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename Fig/Bloch_Sphere.svg
	width 20col%

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
A Bloch-gömb
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

Számítsuk ki ebben a tiszta állapotban a sűrűség mátrixot:
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\hat{\rho}=\left|\varphi\right\rangle \left\langle \varphi\right|
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{align}
\hat{\rho} & =\cos^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|\uparrow\right\rangle \left\langle \uparrow\right|+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}\frac{\sin\left(\theta\right)}{2}\left|\uparrow\right\rangle \left\langle \downarrow\right|\\
 & +\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\frac{\sin\left(\theta\right)}{2}\left|\downarrow\right\rangle \left\langle \uparrow\right|+\sin^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|\downarrow\right\rangle \left\langle \downarrow\right|
\end{align}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\hat{\rho} & = & \left(\begin{array}{cc}
\cos^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right) & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}\frac{\sin\left(\theta\right)}{2}\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\frac{\sin\left(\theta\right)}{2} & \sin^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1+\cos\left(\theta\right) & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}\sin\left(\theta\right)\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\sin\left(\theta\right) & 1-\cos\left(\theta\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\hat{\rho}=\frac{1}{2}\left(\sigma_{0}+\sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)\sigma_{x}+\sin\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)\sigma_{y}+\cos\left(\theta\right)\sigma_{z}\right)
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
d=\frac{1}{2}\rightarrow\mathrm{Tr}\hat{\rho}=1,\quad\mathrm{Tr}\hat{\rho}^{2}=1
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
b) Teljesen kevert állapot:
\end_layout

\begin_layout Standard
Határozzuk meg a 
\begin_inset Formula $\left|\uparrow\right\rangle $
\end_inset

 és 
\begin_inset Formula $\left|\downarrow\right\rangle $
\end_inset

 állapotok 
\begin_inset Formula $1/2$
\end_inset

 valószínűséggel vett statisztikus keverékének sűrűség mátrixát: 
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\hat{\rho} & =\frac{\left|\uparrow\right\rangle \left\langle \uparrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle \left\langle \downarrow\right|}{2},\\
 & =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)=\frac{\sigma_{0}}{2}.
\end{align}

\end_inset


\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
d=0\rightarrow\mathrm{Tr}\hat{\rho}=1,\quad\mathrm{Tr}\hat{\rho}^{2}=\frac{1}{2}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
c) Részlegesen kevert állapot
\end_layout

\begin_layout Standard
Határozzuk meg a 
\begin_inset Formula $\left|\uparrow\right\rangle $
\end_inset

 és 
\begin_inset Formula $\left|\downarrow\right\rangle $
\end_inset

 állapotok 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 valószínűséggel vett statisztikus keverékének sűrűség mátrixát:
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\hat{\rho} & =p\left|\uparrow\right\rangle \left\langle \uparrow\right|+(1-p)\left|\downarrow\right\rangle \left\langle \downarrow\right|\\
 & =\left(\begin{array}{cc}
p & 0\\
0 & 1-p
\end{array}\right)=\frac{\sigma_{0}}{2}+\left(p-\frac{1}{2}\right)\sigma_{z}
\end{align}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
d=\left(p-\frac{1}{2}\right)\rightarrow\mathrm{Tr}\hat{\rho}=1,\quad\mathrm{Tr}\hat{\rho}^{2}=\frac{1}{2}+2\left(p-\frac{1}{2}\right)^{2}
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Box Shadowbox
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width "90col%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status collapsed

\begin_layout Exercise
Tekintsük egy két állapotú rendszer két (
\begin_inset Formula $\left|\alpha\right\rangle $
\end_inset

 és 
\begin_inset Formula $\left|\beta\right\rangle $
\end_inset

) nem ortogonális állapotából (
\begin_inset Formula $\left\langle \alpha\right.\left|\beta\right\rangle =x$
\end_inset

) 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 valószínűséggel kevert állapotot.
 Határozzuk meg 
\begin_inset Formula $\mathrm{Tr}\hat{\rho}^{2}$
\end_inset

-t !
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Két kétállapotú kvantum rendszer
\end_layout

\begin_layout Standard
Vizsgáljuk meg hogy milyen állapotok írhatnak le egy olyan kvantum rendszert
 melyet két darab két állapotú rendszer alkot.
 Gondoljunk például itt két darab lokalizált elektron spin szabadsági fokára!
 Ekkor az első két állapotú rendszer állapotait az 
\begin_inset Formula $\left|\uparrow\right\rangle _{1}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula $\left|\downarrow\right\rangle _{1}$
\end_inset

 állapotokkal jellemezhetjük míg a második rendszer leírására a
\begin_inset Formula $\left|\uparrow\right\rangle _{2}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula $\left|\downarrow\right\rangle _{2}$
\end_inset

 állapotok szolgálnak bázisul.
 A két rendszer együttes leírására természetszerűen adódik a következő négy,
 teljes ortonormált rendszert alkotó bázis állapot:
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left|\uparrow\right\rangle _{2},\ \left|\uparrow\right\rangle _{1}\left|\downarrow\right\rangle _{2},\label{eq:two_qbit_product_basis}\\
\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left|\uparrow\right\rangle _{2},\ \left|\downarrow\right\rangle _{1}\left|\downarrow\right\rangle _{2}.\nonumber 
\end{align}

\end_inset

A 
\begin_inset Formula $\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left|\downarrow\right\rangle _{2}$
\end_inset

 állapotban például az első spin felfelé míg a második lefelé áll.
 A
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left|\Phi\right\rangle =\left|\vec{n}\right\rangle _{1}\left|\vec{m}\right\rangle _{2}
\end{equation}

\end_inset

alakú állapotokon kívül, melyekben az összetevő rendszerek jól meghatározott
 állapotban vannak, a kvantummechanika megengedi hogy ezen állapotok tetszőleges
 lineáris kombinációjában legyen a rendszer.
 Azaz lehetséges például a klasszikusan nem megengedett
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left|\Psi\right\rangle =\frac{\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left|\downarrow\right\rangle _{2}+\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left|\uparrow\right\rangle _{2}}{\sqrt{2}}
\end{equation}

\end_inset


\series bold
összefonódott
\series default
 állapot! Figyeljük meg hogy ebben az állapotban nem tehetünk biztos kijelentést
 a rendszer egyik rész részének az állapotáról, viszont a részrendszerek
 kölcsönös állapotáról van információnk!
\end_layout

\begin_layout Standard
Vizsgáljuk meg hogy a fent definiált két tiszta állapotot milyen sűrűségmátrix
 írja le!
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\hat{\rho}_{\Phi} & =\left|\Phi\right\rangle \left\langle \Phi\right|=\left(\left|\vec{n}\right\rangle _{1}\left|\vec{m}\right\rangle _{2}\right)\left(\left\langle \vec{n}\right|_{1}\left\langle \vec{m}\right|_{2}\right)\\
 & =\left|\vec{n}\right\rangle _{1}\left\langle \vec{n}\right|_{1}\otimes\left|\vec{m}\right\rangle _{2}\left\langle \vec{m}\right|_{2}
\end{align}

\end_inset

Ahol a 
\begin_inset Formula $\otimes$
\end_inset

 a két projektor tenzorszorzatát jelöli.
 
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\hat{\rho}_{\Psi}= & \frac{1}{2}\left(\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left|\downarrow\right\rangle _{2}+\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left|\uparrow\right\rangle _{2}\right)\left(\left\langle \uparrow\right|_{1}\left\langle \downarrow\right|_{2}+\left\langle \downarrow\right|_{1}\left\langle \uparrow\right|_{2}\right)\\
= & \frac{1}{2}\left(\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left\langle \uparrow\right|_{1}\otimes\left|\downarrow\right\rangle _{2}\left\langle \downarrow\right|_{2}+\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left\langle \downarrow\right|_{1}\otimes\left|\downarrow\right\rangle _{2}\left\langle \uparrow\right|_{2}\right.\\
 & +\left.\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left\langle \uparrow\right|_{1}\otimes\left|\uparrow\right\rangle _{2}\left\langle \downarrow\right|_{2}+\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left\langle \downarrow\right|_{1}\otimes\left|\uparrow\right\rangle _{2}\left\langle \uparrow\right|_{2}\right)
\end{align}

\end_inset

A sűrűségmátrix bevezetésénél láttuk, hogy egy mérés eredményének várhatóértékét
, a mért mennyiség operátorának a sűrűségmátrixal vett szorzatának a nyoma
 adja.
 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
A=\text{Tr}\left[\hat{\rho}\hat{A}\right]
\end{equation}

\end_inset

Ha egy több részrendszerből álló rendszeren végzünk méréseket akkor sokszor
 ezen mérés egy részrendszerre korlátozódik.
 Ekkor célszerű bevezetni egy részrendszer sűrűségmátrixát melyet a teljes
 sűrűségmátrix részleges nyoma adja az alábbiak szerint.
 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\hat{\rho}_{1}=\text{Tr}_{2}\left[\hat{\rho}\right],\ \hat{\rho}_{2}=\text{Tr}_{1}\left[\hat{\rho}\right]
\end{equation}

\end_inset

ahol 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\text{Tr}_{2}\left[\hat{A}\otimes\hat{B}\right]=\text{Tr}\left[\hat{B}\right]\hat{A},\ \text{Tr}_{2}\left[\hat{A}\otimes\hat{B}\right]=\text{Tr}\left[\hat{A}\right]\hat{B}.
\end{equation}

\end_inset

Vizsgáljuk meg 
\begin_inset Formula $\hat{\rho}_{\Phi}$
\end_inset

-ből és 
\begin_inset Formula $\hat{\rho}_{\Psi}$
\end_inset

 -ből előálló az első részrendszert leíró effektív sűrűségmátrixokat.
 
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\hat{\rho}_{\Phi1} & =\text{Tr}_{2}\left(\left|\vec{n}\right\rangle _{1}\left\langle \vec{n}\right|_{1}\otimes\left|\vec{m}\right\rangle _{2}\left\langle \vec{m}\right|_{2}\right)\\
 & =\left|\vec{n}\right\rangle _{1}\left\langle \vec{n}\right|_{1}\text{Tr}\left(\left|\vec{m}\right\rangle _{2}\left\langle \vec{m}\right|_{2}\right)\\
 & =\left|\vec{n}\right\rangle _{1}\left\langle \vec{n}\right|_{1}
\end{align}

\end_inset

Ebben az esetben tehát a részrendszert leíró effektív sűrűségmátrix egy
 tiszta rendszer sűrűség mátrixa!
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\hat{\rho}_{\Psi1} & =\frac{1}{2}\text{Tr}_{2}\left[\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left\langle \uparrow\right|_{1}\otimes\left|\downarrow\right\rangle _{2}\left\langle \downarrow\right|_{2}+\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left\langle \downarrow\right|_{1}\otimes\left|\uparrow\right\rangle _{2}\left\langle \uparrow\right|_{2}\right]\\
 & =\frac{1}{2}\left[\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left\langle \uparrow\right|_{1}+\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left\langle \downarrow\right|_{1}\right].
\end{align}

\end_inset

ahol kihasználtuk hogy 
\begin_inset Formula $\text{Tr}\left[\left|\downarrow\right\rangle \left\langle \uparrow\right|\right]=0$
\end_inset

.
 Vegyük észre hogy ebben az esetben a kapott redukált sűrűségmátrix egy
 teljesen kevert rendszer sűrűségmátrixa! 
\end_layout

\begin_layout Standard
Az összefonódott tiszta állapotok ezen tulajdonságát, miszerint a belőlük
 származtatott redukált sűrűségmátrixok kevert rendszerek sűrűségmátrixát
 adják szokás általában is az összefonódás mértékével kapcsolatba hozni.
\end_layout

\begin_layout Standard
Felmerül a kérdés, hogy lehetséges-e valamilyen módon összefonódott állapotokat
 előállítani olyan állapotokból melyek eredetileg nem voltak összefonódva.
 A válasz igen! Vizsgáljuk meg például az alábbi unitér operátort:
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\hat{U}_{CNOT} & =\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left\langle \uparrow\right|_{1}\otimes\left|\uparrow\right\rangle _{2}\left\langle \uparrow\right|_{2}+\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left\langle \uparrow\right|_{1}\otimes\left|\downarrow\right\rangle _{2}\left\langle \downarrow\right|_{2}\\
 & +\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left\langle \downarrow\right|_{1}\otimes\left|\uparrow\right\rangle _{2}\left\langle \downarrow\right|_{2}+\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left\langle \downarrow\right|_{1}\otimes\left|\downarrow\right\rangle _{2}\left\langle \uparrow\right|_{2}\nonumber 
\end{align}

\end_inset

Ez az operátor az első spin állapotától függően billenti a második állapotot.
 Ha az első spin felfelé mutatott akkor a másodikat békén hagyja, ellenkező
 esetben a második spin fordul! Tekintsük ezen operátor hatását a következő
 állapotra
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left|\Phi\right\rangle _{xz}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\left|\uparrow\right\rangle _{1}+\left|\downarrow\right\rangle _{1})\left|\downarrow\right\rangle _{2}.
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\hat{U}_{CNOT}\left|\Phi\right\rangle _{xz}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left|\downarrow\right\rangle _{2}+\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left|\uparrow\right\rangle _{2})
\end{equation}

\end_inset

A kapott állapot éppen az a teljesen összefont állapot melyet korábban vizsgáltu
nk!
\end_layout

\begin_layout Standard
Összefonódott állapotokat a szorzat alakban előálló állapotokhoz hasonlóan
 (például 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:two_qbit_product_basis"

\end_inset

) használhatunk két kétállapotú rendszert leíró Hilbert-tér bázisául is.
 
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\left|\Phi^{\pm}\right\rangle  & =\frac{1}{\sqrt{2}}(\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left|\uparrow\right\rangle _{2}\pm\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left|\downarrow\right\rangle _{2})\label{eq:two_qbit_bell_basis}\\
\left|\Psi^{\pm}\right\rangle  & =\frac{1}{\sqrt{2}}(\left|\uparrow\right\rangle _{1}\left|\downarrow\right\rangle _{2}\pm\left|\downarrow\right\rangle _{1}\left|\uparrow\right\rangle _{2})
\end{align}

\end_inset


\begin_inset Box Shadowbox
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width "90col%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Exercise
Bizonyítsuk be a következő algebrai összefüggést három darab kétállapotú
 rendszerre vonatkozólag:
\end_layout

\begin_layout Exercise
\begin_inset Formula 
\begin{align}
\left(\alpha\left|\uparrow\right\rangle _{1}+\beta\left|\downarrow\right\rangle _{1}\right)\left|\Phi^{\pm}\right\rangle _{23} & =\frac{1}{2}\left[\left|\Phi^{+}\right\rangle _{12}\left(\alpha\left|\uparrow\right\rangle _{3}+\beta\left|\downarrow\right\rangle _{3}\right)+\left|\Phi^{-}\right\rangle _{12}\left(\alpha\left|\uparrow\right\rangle _{3}-\beta\left|\downarrow\right\rangle _{3}\right)\right.\\
 & \left.\left|\Psi^{+}\right\rangle _{12}\left(\beta\left|\uparrow\right\rangle _{3}+\alpha\left|\downarrow\right\rangle _{3}\right)+\left|\Psi^{-}\right\rangle _{12}\left(\beta\left|\uparrow\right\rangle _{3}-\alpha\left|\downarrow\right\rangle _{3}\right)\right]
\end{align}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document