-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
3b.tex
171 lines (136 loc) · 10.3 KB
/
3b.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
\section{Постановка задачи моделирования столкновения массивных пылевых сгущений.}
Различные модификации рассматриваемого метода являются в настоящее время эффективным средством решения сложных задач динамики разреженного газа [4].
Рассмотрим в качестве примеров некоторые возможности предлагаемого подхода в приложении к задачам моделирования струй (струйных течений) и, по аналогии
с ними, задачи моделирования столкновений крупных пористых тел, условно ассоциируемых с массивными ''частицами''.
Задача о взаимодействии массивных пылевых сгущений, рассматриваемых в качестве рыхлых ''частиц'', обладающих большой
массой, представляет несомненный интерес для ряда астрофизических приложений, в первую очередь, для планетной космогонии. В большинстве существующих
моделей \cite{KolesnMarov} с динамикой частиц и их ростом при соударениях связывают образование зародышей планет - планетезималей. Однако численные и
лабораторные эксперименты последних лет показали, что при относительных скоростях пылевых частиц выше $~$1 м/с преобладает процесс разрушения, а не
объединения. Не достаточно обоснована и возможность роста частиц путем объединения при столкновениях в интервале размеров от 10 см до 10 м, как и
возможность образования самогравитирующих тел размерами 0.1-1 км. Более вероятным сценарием эволюции пылегазового субдиска может быть модель
образования пылевых сгущений (пылевых кластеров) с начальной массой порядка массы астероидов (~ $10^{15} - 10^{19}$ г.) и размерами в пределах
$\approx 0,1 - 10$ км, особенно внутри
вихревых структур, с учетом процессов самоорганизации в турбулентной среде \cite{KolesnMarov,Hokni_ModelirovanieMetodomChastic}. Такой подход требует изучения динамики взаимодействия таких сгустков
при соударениях, которые можно уподобить столкновениям рыхлых «частиц» большой начальной массы.
Рассмотрим столкновение двух газопылевых облаков. Постановка задачи выглядит следующим образом:
дана двумерная область $x = 600$ км на $y =300$ км, заполненная 2 облаками астероидов, как представлено на рис. 1.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{comp_area.png}
\end{center}
\end{figure}
Без ограничения общности, можно перейти в систему отсчета, в которой правое скопление покоится, а левое – движется
со скоростью $v \sim 20-100$ м/с. Параметры астероидов, из которых состоят скопления представлены в таблице:
Механизм взаимодействия частиц следующий. При столкновении двух частиц выделялось тепло $Q = 1.6\cdot10^{13}$ Дж.
Если относительная кинетическая энергия двух частиц $K = \frac{m_r v_r^2}{2}$ была меньше, то частицы слипались. Если $K>Q$,
то относительные скорости частиц изменялись в соответствии с механикой неупругого удара.
Для того, чтобы полностью описать столкновение двух облаков, необходимо знать следующие параметры: числовую плотность и параметры астероидов, из
которых состоит облако, степень пересечения скоплений при столкновении и их относительную скорость.
\section{Анализ влияния гравитации на сечения столкновений частиц.}
Для анализа влияния гравитации рассмотрим подробнее динамику столкновения частиц. Для простоты рассмотрим частицы
одинаковой массы. Отношение потенциальной энергии к кинетической на бесконечности равно:
$$
\frac{\phi}{\frac12 m_r c_r^2} = \frac{2\,G\,m^2}{m_r\,c_r^2\,r} = \frac{2\,W}{W_0}
$$
$m_r$ - приведенная масса, а $W_0$ - второй безразмерный параметр столкновения, определяемый равенством:
$$
W_0 = b \frac{m_r\,c_r^2}{G\,m^2}
$$
В \cite{Bird_MolecularGasDynamics} показано, что угол отклонения имеет вид:
$$
\chi = \pi - 2 \int_{0}^{W_1}(1 - W^2 - 2\frac{W}{W_0})^{-\frac12} \,dW
$$
где $W_1$ - положительный корень уравнения
$$
1 - W^2 - 2\frac{W}{W_0} = 0
$$
Для фиксированной величины $c_r$ полное сечение столкновений может быть представлено следующим образом:
\begin{equation}
\sigma d \Omega = W_0 \left( \right)^2 d W_0 d \psi
\label{sigmat}
\end{equation}
В силу того, что силовое поле распространяется до бесконечности, интеграл полного сечения $\sigma_T$ столкновений расходится. Проблема
неограниченности полного сечения столкновений является общей для большинства классических моделей со степенным потенциалом
взаимодействия. Хотя величина $\sigma_T$ бесконечна, большая часть взаимодействий - это скользящие столкновения, приводящие
к очень небольшим отклонениям, поэтому естественным приемом для работы с ними является отбрасывание(усечение) дальних столкновений.
Усечение можно провести ограничением расстояния наибольшего сближения двух тел $b$ или угла отклонения $\chi$. Более удобным является
ограничение на $\chi$, так как угол зависит от $W_0$. Тогда усечение можно проводить, задавая максимальные значения $W_{0,m}$.
Тогда для фиксированной величины $c_r$ полное сечение столкновений $\sigma_T$ можно получить интегрированием \ref{sigmat} по
всем возможным значениям столкновительных параметров $W_0$ и $\psi$:
$$
\sigma_T = \int_0^{2\pi} \int_0^{W_{0,m}} w_0 \left( \frac{G m^2}{m_r\,c_r^2} \right)^2 dW_0\,d\psi = \pi W_{0,m}^2\left( \frac{G m^2}{m_r\,c_r^2} \right)^2
$$
Для оценки влияния гравитации рассмотрим одинаковые астероиды массой $m = 10^{19}$г, движущиеся с относительной скоростью $c_r = 10$м/с.
При этом сечение столкновений составит около $10^7$ м$^2$, что даст эффективный радиус взаимодействия, порядка $10^3$ м. Размер
астероида такой массы составляет $5\cdot 10^4$м. Таким образом, в задачах, с массами астероидов, не превышающих $10^{19}$г гравитационным
взаимодействием можно пренебречь.
\section{Результаты численных экспериментов}
Основной процесс, который нас интересует - как будет изменятся суммарная масса кластеров при изменении массы частиц, из которых состоит
правое облако. Предполагается, что удельная и числовая плотности остаются неизменными. Общий характер взаимодействия можно проследить по изменению
поля масс в различные моменты времени(рис. \ref{fig_mass3}).
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{image12.png}
\caption{Поле масс в различные моменты времени.}
\label{fig_mass3}
\end{center}
\end{figure}
На рис.\ref{fig_massfrac} представлен характер изменения массы кластеров от
отношения масс частиц. Нелинейный характер изменения суммарной массы
кластеров объясняется тем, что, уже при отношении масс частиц больше 1/3
суммарный вклад в массу кластера начинает давать более тяжелый сорт.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Mass_frac.png}
\caption{Зависимость относительной массы кластеров от изменения массы частиц.}
\label{fig_massfrac}
\end{center}
\end{figure}
Теперь рассмотрим изменение массы кластеров от скорости
набегающих облаков. Нас интересует как изменяется масса кластеров при
изменении относительной скорости облаков в диапазоне 20-100 м/с (рис. \ref{fig_velfrac}).
Характер изменений -- почти линейный.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{vel_frac.png}
\caption{Зависимость суммарной массы кластеров от относительной скорости облаков.}
\label{fig_velfrac}
\end{center}
\end{figure}
Столкновение двух облаков может задаваться также областью пересечения этих облаков. Рассмотрим два скопления, одинакового диаметра.
Областью пересечения будет проекция линии, соединяющей центры облаков на ось, перпендикулярную вектору относительной скорости.
Зависимость массы кластеров от степени пересечения облаков представлена на рис.\ref{fig_fracinters}.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{frac_inters.png}
\caption{Зависимость суммарной массы кластеров от степени пересечения. 1 - полное пересечение, 0 - облака не пересекаются.}
\label{fig_fracinters}
\end{center}
\end{figure}
Численные эксперименты привели к выводу, что при больших встречных скоростях частиц (до 500 м/с) происходит большое количество столкновений и, как
следствие, обильное кластерообразование (почти все частицы слипаются). Уменьшение встречной скорости до 300 м/с приводит к уменьшению числа столкновений
и примерно равной концентрации частиц и кластеров в середине камеры. Не менее интересно то, что при увеличении концентрации частиц в одной из половин
камеры в 2 раза характер столкновения облаков практически не меняется, почти все они остаются в середине камеры, что хорошо видно на поле концентраций,
приведенном на рис. \ref{fig_mass3}.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{marov_4.jpg}
\end{center}
\caption{Зависимость суммарной массы кластеров от диаметров и начальной концентрации частиц $N_0 = 0.63\cdot10^{-15}$ (1), $1.26\cdot10^{-15}$ (2),
$0.32\cdot10^{-5}$м$^{-3}$ (3).}
\label{marov_4}
\end{figure}
Чтобы облака прошли друг сквозь друга, необходимо уменьшить либо их относительные поступательные скорости, либо концентрации частиц. Однако, как
показали численные эксперименты, уменьшение скорости даже до 10 м/с не приводит к сквозному пролету.
%С другой стороны уменьшение диаметров существенно влияет на изменение характера эволюционного процесса. Данный подход приводит к сквозному пролету
%значительной доли облаков с образованием третьего облака в середине расчетной камеры (характерные размеры тел ~ 900м). На рис.3. представлена серия
%стоп-кадров поля концентраций от финальной стадии взаимодействия облаков (t = 2.0$\cdot$105 c) до их полного разлета и образования продуктов
%взаимодействия (t = 3.2$\cdot$105 c).
На рис. \ref{marov_4} представлены результаты исследования зависимости суммарной массы продуктов взаимодействия(частиц не покинувших расчетную область за
характерный временной интервал равный времени пролета частиц сквозь камеру) от начальных концентраций и диаметров тел. Расчеты показали, что при
определенном соотношении данных параметров линейный характер зависимости нарушается.
Как видим, результаты численных экспериментов по изучению столкновительного взаимодействия массивных пылевых сгущений в зависимости от концентрации
частиц и относительных поступательных скоростей позволяют проследить характер эволюции поля концентраций и наложить вполне определенные ограничения
на условия слипания частиц в сгущениях (кластерообразования). Это подкрепляет представления о начальном этапе образования зародышей планет вследствие
возникновения в протопланетном диске первичных пылевых сгущений и их взаимодействий, как значительно более вероятном механизме, чем рост пылевых частиц
при непосредственных соударениях в диске.