1g.tex

\section{Сравнение результатов численного моделирования с известными 
аналитическими решениями многокомпонентного уравнения Смолуховского.}

Известные решения многокомпонентного уравнения Смолуховского аналогичны однокомпонентному аналогу. Без ограничения общности остановимся
на двукомпонентном варианте. В этом случае ядро уравнения будет выглядеть следующим образом:
$$
K(\vec x, \vec y) = K(x1, x2, y1, y2)
$$
Если ядро зависит только от суммарного количества частиц в кластере:
$$
K(x1, x2, y1, y2) = K(x1+y1, x2+y2)
$$
то аналитические решения уравнения Смолуховского с монодисперсным начальным условием, $\phi_i(0) = c_i$ выражаются через
моменты распределения концентраций частиц:
$$
M_{i,j}(t) = \sum_{m=0}\sum_{n=0}m^i n^j \phi(m,n,t)
$$
Решения можно представлены в таблице \ref{tab_mom}.
\begin{table}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}ccc}
\hline
Момент & K(x,y)=const & K(x,y) = x+y \\
\hline
$M_{0,0}$ & $\frac{2c_0}{T+2}$ & $c_0(1-\eta)$\\
$M_{1,0}$ & $c_1$ & $c_2$\\
$M_{0,1}$ & $c_1$ & $c_2$\\
$M_{1,1}$ & $\frac{c_1 c_2}{c_0}T$ & $\frac{c_1 c_2 (2-\eta)\eta}{c_0(1-\eta)^2}$\\
$M_{2,0}$ & $c_1\left( 1+ \frac{c_1}{c_0}T\right)$ & $c_1\left(1+ \frac{c_1(2-\eta)\eta}{c_0(1-\eta)^2}\right)$\\
$M_{0,2}$ & $c_2\left( 1+ \frac{c_2}{c_0}T\right)$ & $c_2\left(1+ \frac{c_2(2-\eta)\eta}{c_0(1-\eta)^2}\right)$\\
\hline
\end{tabular*}
\caption{Решения для начального условия $\phi(m, n, 0) = c_1\delta_{m,1}+c_2\delta_1,n$, $c_0 = c_1 + c_2$.}
\label{tab_mom}
\end{table}

Параметры $\eta$ и $T$ определяются через решения для однокомпонентного случая:
$$
\eta = 1 - \exp(-c_0t)\qquad T = c_0 t
$$

На рисунках представлены эволюции моментов для всех рассмотренных случаев.
\begin{figure}
  \centering
  \subfloat{\label{fig:tccm00}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{plot_tc_const_m00.pdf}}                
  \subfloat{\label{fig:tccm11}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{plot_tc_const_m11.pdf}}\\
  \subfloat{\label{fig:tccm02}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{plot_tc_const_m02.pdf}}
  \subfloat{\label{fig:tccm20}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{plot_tc_const_m20.pdf}}
  \caption{Моменты распределения концентрации кластеров для ядра $K(x,y) = 1$.}
  \label{fig:moments_tcc}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
  \subfloat{\label{fig:tccm00}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{plot_tc_sum_m00.pdf}}                
  \subfloat{\label{fig:tccm11}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{plot_tc_sum_m11.pdf}}\\
  \subfloat{\label{fig:tccm02}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{plot_tc_sum_m02.pdf}}
  \subfloat{\label{fig:tccm20}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{plot_tc_sum_m20.pdf}}
  \caption{Моменты распределения концентрации кластеров для ядра $K(x,y) = x+y$.}
  \label{fig:moments_tcs}
\end{figure}