-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
1d.tex
57 lines (45 loc) · 2.4 KB
/
1d.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
\section{Сравнение результатов численного моделирования с известными
аналитическими решениями однокомпонентного уравнения Смолуховского.}
Известно 3 аналитических решения уравнения Смолуховского с монодисперсным начальным условием, $\phi_1(0) = \phi_0$.
\begin{enumerate}
\item В случае постоянного ядра, $K(x, y) = const = A$, решением системы будет
\begin{equation}
\phi_k(t) = \phi_0 \frac{(\phi_0\,A\,t/2)^{k-1}}{(1+\phi_0\,A\,t/2)^{k+1}},
\end{equation}
Суммарную концентрацию частиц можно представить в виде:
\begin{equation}
\phi_c(t) = \sum_{k=1}^{\infty}\phi_k(t) = \frac{\phi_0}{1+\phi_0\,A\,t/2}
\end{equation}
Для удобства можно определить величину
$$
\theta(t) = \frac{\phi_0}{\phi_c(t)} = 1 + \frac{\phi_0\, A\, t}{2}
$$
\item Аналитическим решением для случая $K(x, y) = A\,(x + y)$ будет:
\begin{equation}
\phi_k(t) = \phi_0 \frac{k^{k-1}}{k!} e^{-\phi_0\,A\,t}(1 - e^{-\phi_0\,A\,t})^{k-1} e^{-k(1-e^{-\phi_0 A t})},
\end{equation}
Также можно показать, что
\begin{equation}
\theta(t) = \frac{\phi_0}{\phi_c(t)} = e^{\phi_0\,A\,t}
\end{equation}
\item Теоретическое решение уравнения Смолуховского для случая $K(x, y) = A \, x y$ необычно, так как за конечное время формируется суперкластер,
который "вбирает" в себя все частицы. Отношение начальной концентрации части к текущей концентрации дается следующим выражением:
\begin{equation}
\theta(t) = \frac{\phi_0}{\sum_{i = 1}^{\infty}\phi_i} = \frac{1}{1 - \frac{\phi_0\,A\,t}{2}}, \qquad 0\le t < \frac{1}{\phi_0 A}
\end{equation}
\end{enumerate}
На рисунках представлены эволюции величины $\theta(t)$ для всех рассмотренных случаев.
\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{plot_const.pdf}
\caption{Профиль эволюции величины обратной суммарной концентрации кластеров с течением времени. $K(x,y) = 1$.}
\end{figure}
\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{plot_sum.pdf}
\caption{Профиль эволюции величины обратной суммарной концентрации кластеров с течением времени. $K(x,y) = x+y$.}
\end{figure}
\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{plot_prod.pdf}
\caption{Профиль эволюции величины обратной суммарной концентрации кластеров с течением времени. $K(x,y) = xy$.}
\end{figure}
Чтобы получить численное решение, запустим $K$ независимых реализаций случайного процесса, описанного ранее, с одинаковым числом
частиц $M$ и $c=1$. Тогда получим следующую зависимость: