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<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<!-- CSS File -->
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="style.css">
<!-- MathJax File -->
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<!-- Script File -->
<script type="text/javascript" src="scripts.js"></script>
</head>
<body>
<h1>Integrale – Einführung und Motivation</h1>
<p>Viele der Zusammenhänge in der Physik verbinden drei
physikalische Größen miteinander. Im einfachsten Fall ist dann eine
der drei Größen direkt proportional zu den beiden anderen.</p>
<button class="collapsible">Beispiel 1: \(s=vt\)</button>
<div class="content">
<p>Erklärung: Bewegt sich ein Körper mit konstanter
Geschwindigkeit \(v\), so ist der zurückgelegte Weg \(s\)
umso größer, je schneller die Geschwindigkeit \(v\) und die
verstrichene Zeit \(t\) ist. Genauer: Fährt ein Auto doppelt
so schnell wie ein anderes, dann kommt es in der gleichen
Zeit doppelt so weit wie das andere, es gilt also
\(s\sim v\). Fahren zwei Autos gleich schnell, so kommt ein
Auto, das doppelt so lang fährt, auch doppelt so weit, es
gilt also \(s\sim t\). Insgesamt gilt also: \(s=vt\).</p>
</div>
<p>Bild: Zurückgelegte Stecke im t-v-Diagramm (als rechteckige
Fläche unter dem Graphen)</p>
<button class="collapsible">Beispiel 2: \(W=Fs\)</button>
<div class="content">
<p>Erklärung: Wir suchen nach einer sinnvollen Definition
der physikalischen Größe Arbeit \(W\). Ein Körper soll um
eine bestimmte Strecke \(s\) verschoben werden, hierbei wird
nach unserem alltäglichen Verständnis Arbeit verrichtet.
Wovon hängt es nun ab, wie viel Arbeit verrichtet wird? Die
Ursache unserer Anstrengung ist klar eine Kraft, die uns
entgegenwirkt: Könnten wird die Reibungskraft, die in diesem
Fall wirkt, vollständig abschalten, dann würde der Körper
durch einen minimalen Stups eine beliebig große Strecke
zurücklegen, ohne weitere Anstrengung.
<!-- Geht hier evtl. die Intuition für den Zusammenhang zwischen Masse und Trägheit verloren? -->
Je größer die Kraft ist, die uns entgegenwirkt, umso mehr
Anstrengung kostet es, den Körper zu verschieben. Es
erscheint sinnvoll, die Größe \(W\) proportional zur zu
überwindenden Kraft \(F\) zu wählen, \(W\sim F\). Schiebt
man nun den Körper um eine doppelte Strecke \(s\), so
verrichtet man klar die doppelte Arbeit, also auch
\(W\sim s\). Insgesamt also \(W=Fs\).</p>
</div>
<!-- Bild: Geleistete Arbeit im s-F-Diagramm (als rechteckige Fläche unter dem Graphen) -->
<p>In beiden Beispielen wurde angenommen, dass die beiden Faktoren
unabhängig voneinander sind. Was passiert aber, wenn die
Momentangeschwindigkeit abhängig vom Zeitpunkt ist, also \(v=v(t)\)?
Gilt dann einfach \(s(t)=v(t)\cdot t\)? Analog: Was passiert, wenn
die Kraft \(F\) sich im Verlauf des Wegs verändert, also \(F=F(s)\)
ist, wie kann dann die Arbeit berechnet werden?</p>
<p>Ein Gegenbeispiel zeigt schnell, dass der Ansatz
\(s(t)=v(t)\cdot t\) nicht richtig sein kann.
<!-- Das ausführliche Gegenbeispiel soll wieder versteckt sein -->
Ist zum Beispiel \(v(t)=a\cdot t\) mit
\(a=1\,\frac{\rm m}{\rm s^2}\) (das Auto wird im Verlauf der Zeit
immer schneller, beginnend bei Null), dann wäre
\(s(t)=v(t)\cdot t=(a\cdot t)\cdot t=a\cdot t^2\) und nach
\(t=1\,{\rm s}\) wäre die zurückgelegte Strecke
\(s(1\,{\rm s})=1\,{\rm m}\). Die gleiche Strecke legt aber auch ein
Auto zurück, das von Anfang an mit konstanter Geschwindigkeit
\(v=1\,\frac{\rm m}{\rm s}\) fährt. Intuitiv erwartet man, dass das
zweite Auto weiter kommt als das erste, da es zu jedem Zeitpunkt
schneller ist. Eie Formel \(s(t)=v(t)\cdot t\) kann also nicht
richtig sein.</p>
<p>Wie lässt sich der richtige Zusammenhang finden? Dafür unterteilt
man das Zeitintervall \([t_{\rm Anfang}, t_{\rm Ende}]\) in viele
kleine Abschnitte, wobei jeder Abschnitt so klein ist, dass dort die
Geschwindigkeit nahezu konstant ist. In einem solchen Abschnitt
\([t_i,t_i+\Delta t]\), kann die Geschwindigkeit als näherungsweise
konstant angenommen werden, sodass die Formel für konstante
Geschwindigkeit anwendbar ist:
\[\Delta s_i = v(t_i)\Delta t\]
<!-- Daneben ein Bild mit einer einzelnen Rechteckssäule über einem ausgewählten Intervall -->
Um die insgesamt zurückgelegte Strecke zu finden, müssen alle
Teilstrecken aufsummiert werden:
\[s = \sum_i \Delta s_i = \sum_i v(t_i)\Delta t\]
<!-- Daneben ein Bild mit vollständiger “Säulenzerlegung” -->
Macht man die Abschnitte \([t_i,t_i+\Delta t]\) immer kleiner, so
wird die Abweichung vom wahren Wert immer geringer.
<!-- Daneben das Applet https://www.geogebra.org/m/QKQg6arS angepasst an das Beispiel -->
Wir sehen, dass der wahre Wert der zurückgelegten Strecke der Fläche
zwischen dem Graphen und der Rechtsachse entspricht. Diesen Wert
nennt man das Integral der Geschwindigkeit nach der Zeit und
schreibt ihn als
\[s=\int_{s_{\rm Anfang}}^{s_{\rm Ende}} {\rm d}s =
\int_{t_{\rm Anfang}}^{t_{\rm Ende}} v(t){\rm d}t\]
Das Integrationszeichen ist ein stilisiertes S (für Summe), da die
Integration eigentlich nur die Summation kleiner Rechtecksflächen
über unendlich kleinen Abschnitten (infinitesimal kleinen
Intervallen) darstellt. Der Summationsindex \(i\) fällt weg, weil
die Anzahl der Abschnitte nun nicht mehr gezählt werden kann
(überabzählbar ist). Es werden nur noch die Grenzen des
Gesamtintervalls \(t_{\rm Anfang}\) und \(t_{\rm Ende}\) angegeben.
</p>
<p>Wir sehen aus den vorangehenden Überlegungen: Die Motivation für Integrale kommt aus der Physik. Immer dann, wenn wir eine physikalische Größe gerne als Produkt zweier anderen Größen schreiben würden, das jedoch nicht möglich ist, weil eine von ihnen von der anderen abhängt, kommt ein Integral ins Spiel. So ist die zurückgelegte Strecke \(s\) das Integral über die Geschwindigkeit \(v(t)\) nach der Zeit \(t\), sobald die Geschwindigkeit von der Zeit abhängt, und somit der Produktansatz \(s=v\cdot t\) nicht mehr anwendbar ist.</p>
<h2>Integrale – Stammfunktion und Lösung</h2>
<p>Es stellt sich nun die Frage: Wie lassen sich Integrale ausführen? Das Aufsummieren von unendlich vielen Rechtecksflächen sieht nicht sehr praktikabel aus. Aus der Schulmathematik ist aber vielleicht schon bekannt, dass das Integrieren die umgekehrte Operation zum Ableiten ist. Warum ist es aber so - was ist der Zusammenhang zwischen dem Berechnen der Fläche unter dem Graphen einer Funktion und dem "umgekehrten Ableiten" dieser Funktion? Diesen Zusammenhang stellt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) her. Um diesen Satz zu formulieren, brauchen wir die Definition der Stammfunktion:</p>
<p><b>Definition:</b> Zu einer Funktion \(f\) heißt eine Funktion \(F\) <b>Stammfunktion von \(f\)</b>, wenn gilt \[F'(x)=f(x)\]</p>
<p><b>Anmerkung:</b> Eine Stammfunktion ist nicht eindeutig. Beim Ableiten fallen additive Konstanten weg, ist also \(F\) eine Stammfunktion einer Funktion \(f\), dann ist auch \(\tilde F = F+c\) eine Stammfunktion von \(f\), denn \[\tilde F'(x)=(F+c)'(x)=F'(x)=f\] <b>Beispiel:</b> \(F(x)=x^2-3\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)=2x\), denn \(F'(x)=2x\). Aber auch \(\tilde F(x)=x^2+5\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)\). Es gilt \(\tilde F(x)=F(x)+8\)</p>
<!--Abbildung zum angeführten Beispiel-->
<p>Nun können wir den HDI formulieren:</p>
<p><b>Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung):</b> Für eine Funktion \(f\) und eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[\int_a^bf(x){\rm d}x = F(b)-F(a)\]</p>
<p><b>Anmerkung:</b> Mit dem HDI haben wir nun ein Werkzeug, um Integrale auszuführen, ohne unendliche Summen berechnen zu müssen. Es reicht eine Stammfunktion der zu integrierenden Funktion zu finden.</p>
<!-- f(x) als Momentanänderung, bekannt an jedem Punkt zwischen a und b => Integral als Gesamtänderung -->
<!-- Wie ausführlich soll auf den HDI eingegangen werden? Reicht ein Verweis auf MFNF?
Die Fläche einer der infinitesimal kleinen Rechtecksflächen lässt sich über den Differentialquotienten von F(x) ausdrücken:
// jeweils \lim_{h \to 0}
\int_a^{a+h} f(x) dx = f(a)*h = F’(a)*h = ((F(a+h) - F(a))/h * h = F(a+h)-F(a)
// Wendet man diese Methode für alle Rechtecksflächen im Intervall [a, b] an, kürzen sich
// sämtliche Summanden außer F(b) und F(a) weg. Als Ergebnis des Integrals bleibt dann
// \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) stehen. -->
<p>Nun also zur eigentlichen Lösung eines Integrals. Das Aufstellen
der Stammfunktion erweist sich nicht immer als trivial, aber es gibt
eine Reihe von Tricks, die diese Herausforderung vereinfachen.</p>
<p>Für manche Funktionen wie Potenzfunktionen lässt sich die
Stammfunktion sehr einfach bestimmen, indem man sich fragt: “Welche
Funktion ergibt abgeleitet \(f(x)\)?” Wir wissen, dass für eine
Funktion der Form \(f(x) = x^n\) die Ableitung \(f’(x) = nx^{n-1}\)
für alle \(n \in \mathbb{C}\) ist. Die Ableitung von
\(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\) ist demnach \(x^n\), folglich ist
\(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\) Stammfunktion von \(x^n\).
Umgangssprachlich spricht man wegen diesem einfachen Zusammenhang
auch von “Aufleiten”. Die Relation gilt wohlgemerkt für alle
komplexen \(n\) außer \(-1\), also auch für z.B. Wurzeln mit
\(n = \frac{1}{2}\) oder für negative Exponenten wie \(x^{-2} =
\frac{1}{x^2}\). Im Spezialfall \(n = -1\) ist diese Stammfunktion
nicht anwendbar, da dann durch Null geteilt würde. Gibt es eine
andere Funktion, deren Ableitung \(\frac{1}{x}\) ist? Ja, nämlich
den natürlichen Logarithmus \(\ln{x}\).</p>
<p>Auch die Stammfunktionen der trigonometrischen Funktionen
\(\sin{x}\) und \(\cos{x}\) lassen sich vergleichsweise einfach
bestimmen, siehe folgende Abbildung:
<!-- Bild mit “Kreislauf” sin(x)->cos(x)->-sin(x)->-cos(x)->sin(x) und Pfeilen in beide Richtungen (Ableiten und Integrieren) --></p>
<p>Hier ist eine Übersicht von Integralen einfacher Funktionen:</p>
\[
\begin{array}{|c|c|l|}
\hline
f(x) & F(x) & \text{Anmerkung}\\ \hline
x^n & \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C & \text{falls } n\in \mathbb{R}\backslash\{-1\}\\ \hline
\frac{1}{x} & \ln(|x|) + C & \\ \hline
e^x & e^x + C & \\ \hline
\sin(x) & -\cos(x) + C & \\ \hline
\cos(x) & \sin(x) + C & \\ \hline
\end{array}
\]
<h2>Stammfunktionen zusammengesetzter Funktionen</h2>
<p>Häufig hat man es mit komplexeren, zusammengesetzten Funktionen zu tun.
Wie kann für eine solche Funktion die Stammfunktion gefunden werden?</p>
<p>Nun da wir wissen, dass das Integrieren die inverse Operation zum
Ableiten ist, liegt es nahe, dass Ableitungsregeln sich aufs Integrieren
übertragen lassen.</p>
<p>Die folgende Tabelle zeigt eine Liste der Ableitungsregeln und der
zugehörigen Integrationsregeln:</p>
\[
\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Ableitungsregel} & \text{Zugehörige Integrationsregel} \\
\hline
{\text{Additivität der Ableitung}\\ \displaystyle(f+g)'(x) = f'(x)+g'(x)} &
{\text{Additivität des Integrals}\\ \displaystyle\int_a^b f(x)+g(x) {\rm d}x
= \int_a^b f(x){\rm d}x + \int_a^b g(x){\rm d}x} \\
\hline
{\text{Homogenität der Ableitung}\\ \displaystyle(c\cdot f)'(x) = c\cdot
f'(x)} &
{\text{Homogenität des Integrals}\\ \displaystyle\int_a^b c\cdot f(x){\rm d}x
= c\cdot \int_a^b f(x){\rm d}x}\\
\hline
{\text{Produktregel}\\ \displaystyle(f\cdot g)'(x) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)
\cdot g'(x)} &
{\text{Partielle Integration}\\ \displaystyle\int_a^b f’(x)\cdot g(x)
{\rm d}x = [f(x)\cdot g(x)]_a^b - \int_a^b f(x)\cdot g’(x) {\rm d}x }\\
\hline
{\text{Kettenregel}\\ \displaystyle(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x) } &
{\text{Integration mittels Substitution}\\ \displaystyle\int_a^b f(g(x))
\cdot g’(x){\rm d}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(g(x)) {\rm d}g }\\
\hline
\end{array}
\]
<p>Die Integrationsregeln werden im Folgenden aus den Ableitungsregeln
hergeleitet und ihre Anwendung durch einige Beispiele illustriert.</p>
<h3>Auseinander- und Zusammenziehen von Summen (Additivität des Integrals)
</h3>
<p>Für Ableitungen gilt: Die Ableitung einer Summe zweier Funktionen ist
die Summe ihrer Ableitungen. Ist also eine Funktion \(H\) die Summe der
Funktionen \(F\) und \(G\), sodass also \(H(x)=F(x)+G(x)\) gilt, dann ist
auch ihre Ableitung gleich der Summe der Ableitungen von \(F\) und \(G\):
</p>
\[H'(x) = (F+G)'(x) = F'(x)+G'(x)\]
<p>Nutzen wir nun diese Eigenschaft der Ableitungen, um die zugehörige
Eigenschaft des Integrals zu finden. Wir suchen die Stammfunktion zur
Funktion \(h(x)=f(x)+g(x)\), wobei die Stammfunktion von \(f\) durch
\(F\) und die von \(g\) durch \(G\) gegeben ist. Es drängt sich der
Gedanke auf, dass die Stammfunktionen \(H\) von \(h\) mittels</p>
\[H(x) = (F+G)(x) = F(x)+G(x)\]
<p>bestimmt werden kann. Damit würde gelten:</p>
\[\int f(x) + g(x) {\rm d}x = \int f(x){\rm d}x + \int g(x) {\rm d}x\]
<p>Wichtig: An der Stelle, ist es lediglich ein Ansatz, der sinnvoll
erscheint, aber nicht notwendigerweise richtig sein muss! Wir können
jedoch leicht beweisen, dass er richtig ist, dafür müssen wir lediglich
zeigen, dass \(H\) die definierende Eigenschaft einer Stammfunktion,
\(H'(x)=h(x)\) erfüllt. Das ist tatsächlich der Fall, denn</p>
\[H'(x) = F'(x)+G'(x) = f(x)+g(x) = h(x)\]
<p>\(H\) ist also tatsächlich eine Stammfunktion von \(h\)!</p>
<p>Betrachten wir einige Beispiele für das Auseinander- und Zusammenziehen
von Summen:</p>
<button class="collapsible">
Beispiel 1: \(\displaystyle I(x) = \int (x^2+x+1) {\rm d}x\)
</button>
<div class="content">
<p>\(\displaystyle I(x) = \int (x^2+x+1) {\rm d}x\)
\(\displaystyle = \int x^2 {\rm d}x + \int x {\rm d}x +
\int 1 {\rm d}x\)
\(\displaystyle = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + x
+ C\)</p>
<p>Hier konnten wir das Integral über eine zusammengesetzte
Funktion in Integrale über einfache Funktionen aufzuspalten.</p>
</div>
<button class="collapsible">
Beispiel 2: \(\displaystyle I(x) = \int \frac{4x+4}{(x+2)^2}
{\rm d}x + \int \frac{x^2}{(x+2)^2} {\rm d}x \)
</button>
<div class="content">
<p>\(\displaystyle I(x) = \int \frac{4x+4}{(x+2)^2}
{\rm d}x + \int \frac{x^2}{(x+2)^2} {\rm d}x\)
\(\displaystyle = \int \frac{4x+4}{(x+2)^2} + \frac{x^2}{(x+2)^2}
{\rm d}x\)
\(\displaystyle = \int \frac{x^2+4x+4}{(x+2)^2} {\rm d}x\)
\(\displaystyle = \int 1 {\rm d}x = x + C \)</p>
<p>In diesem (zugegebenermaßen recht konstruierten) Beispiel
ließ sich das Integral über die Summe zweier Integranden viel
einfacher berechnen, als über die beiden Integranden getrennt.</p>
</div>
<h3>Heraus- und Hineinziehen von Konstanten (Homogenität des Integrals)</h3>
<p>Für Ableitungen gilt: Konstante Vorfaktoren können aus einer Ableitung
herausgezogen werden. Ist also \(G(x) = c\cdot F(x)\) für Funktionen \(F\)
und \(G\) sowie eine Konstante \(c\), dann gilt:</p>
\[G'(x) = (c\cdot F)'(x) = c\cdot F'(x)\]
<p>Nutzen wir nun diese Eigenschaft der Ableitungen, um die zugehörige
Eigenschaft des Integrals zu finden. Wir suchen die Stammfunktion zur
Funktion \(g(x)=c\cdot f(x)\), wobei die Stammfunktion von \(f\) durch
\(F\) gegeben ist. Nun könnte man auf die Idee kommen, dass die
Stammfunktionen \(G\) von \(g\) mittels</p>
\[G(x) = (c\cdot F)(x) = c\cdot F(x)\]
<p>bestimmt werden kann. Damit würde gelten:</p>
\[\int c\cdot f(x) {\rm d}x = c\cdot \int f(x){\rm d}x\]
<p>Beweisen wir, dass unser Ansatz für die Stammfunktion von \(g\)
tatsächlich richtig ist. Das ist der Fall, denn</p>
\[G'(x) = (c\cdot F)'(x)= c\cdot F'(x) = c\cdot f(x) = g(x)\]
<p>\(G\) ist also tatsächlich eine Stammfunktion von \(g\).</p>
<p>Betrachten wir nun einige Beispiele für das Herausziehen von
multiplikativen Konstanten. Zunächst ist es sinnvoll, multiplikative
Konstanten zu identifizieren, welche nicht von der Integrationsvariablen
abhängen. Diese können dann vor das Integral gezogen werden. </p>
<button class="collapsible">Beispiel 1: \(f(x) = 2x\)</button>
<div class="content">
<p>\(\displaystyle \int_a^b f(x) {\rm d}x = \int_a^b 2x {\rm d}x =
2\int_a^b x {\rm d}x\)</p>
</div>
<button class="collapsible">Beispiel 2: \(g(x, y) = x^2\cdot y^2\)</button>
<div class="content">
<p>\(\displaystyle \int_a^b g(x, y) {\rm d}y =
\int_a^b x^2\cdot y^2 {\rm d}y =
x^2\cdot \int_a^b y^2 {\rm d}y\)</p>
<p>Diese Separation ist nur gültig, wenn \(x\) nicht von \(y\)
abhängt!</p>
</div>
<p>Für schwierigere Integrale gibt es zwei Techniken, die beim
Lösen hilfreich sind: Partielle Integration und Integration durch
Substitution. Beide Techniken lösen das Integral nicht, sondern
formen es in ein anderes Integral um, das – so die Hoffnung …
einfacher zu lösen ist. Beide Techniken basieren auf den
Ableitungsregeln: Die partielle Integration folgt aus der
Produktregel, die Substitution aus der Kettenregel.</p>
<h3>Partielle Integration</h3>
<p>Die partielle Integration bietet eine Möglichkeit, das Integral
eines Produkts zweier Funktionen zu bestimmen. Die Formel leitet
sich – wie bereits erwähnt – aus der Produktregel ab.</p>
<p>Die Produktregel für Ableitungen besagt:</p>
\[(f\cdot g)’(x) = f’(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g’(x)\]
<p>Integrieren wir nun auf beiden Seiten über \(x\) im Intervall
\([a,b]\), dann erhalten wir</p>
\[\int_a^b {\rm d}x (f\cdot g)’(x) =
\int_a^b {\rm d}x f’(x)\cdot g(x) +
\int_a^b {\rm d}x f(x)\cdot g’(x)\]
<p>Die linke Seite lässt sich ausintegrieren, da im Integranden eine
totale Ableitung steht:</p>
\[[f(x)\cdot g(x)]_a^b =
\int_a^b {\rm d}x f’(x)\cdot g(x) +
\int_a^b {\rm d}x f(x)\cdot g’(x)\]
<p>Nun können wir die Gleichung nach dem ersten Integral auflösen,
indem wir das zweite Integral auf die andere Seite bringen:</p>
\[\int_a^b {\rm d}x f’(x)\cdot g(x) =
[f(x)\cdot g(x)]_a^b - \int_a^b {\rm d}x f(x)\cdot g’(x)\]
<p>Dies ist die Formel der partiellen Integration. Sie ist unter
folgenden Umständen hilfreich:</p>
<ul>
<li>Der Integrand lässt sich als Produkt zweier Funktionen \(f’(x)\)
und \(g(x)\) schreiben.</li>
<li>Für eine der Funktionen (nämlich \(f’(x)\)) ist die
Stammfunktion \(f(x)\) bekannt.</li>
<li>Das Integral \(\int {\rm d}x f(x)\cdot g’(x)\) ist einfacher zu
berechnen als das ursprüngliche Integral
\(\int {\rm d}x f’(x)\cdot g(x)\).</li>
</ul>
</p>
<!-- Vorher noch unbestimmte und bestimmte Integrale einführen -->
<p>Einige Beispiele zur Anwendung der partiellen Integration:</p>
<button class="collapsible">Beispiel 1: \(\int \sin^2{x}{\rm d}x\)</button>
<div class="content">
<p>Zur Erinnerung:
\[\int u'(x)\cdot v(x){\rm d}x = u(x)\cdot v(x)
- \int u(x)\cdot v'(x){\rm d}x\]
Wir wählen \(u'(x) = \sin{x}\) und \(v(x) = \sin{x}\),
demnach ist \(u(x) = -\cos{x}\) und \(v'(x) = \cos{x}\).
Unser Integral vereinfacht sich also zu
\[
\begin{align}
&& \int \sin^2{x}{\rm d}x & = -\sin{x}\cos{x} -
\int -\cos^2{x}{\rm d}x \\
&&& = -\sin{x}\cos{x} + \int \cos^2{x}{\rm d}x \\
&&& = -\sin{x}\cos{x} + \int (1-\sin^2{x}){\rm d}x \\
&&& = -\sin{x}\cos{x} + \int {\rm d}x - \int \sin^2{x}{\rm d}x \\
&&& = -\sin{x}\cos{x} + x - \int \sin^2{x}{\rm d}x \\
& \Leftrightarrow & 2\int \sin^2{x}{\rm d}x & =
x-\sin{x}\cos{x} \\
& \Leftrightarrow & \int \sin^2{x}{\rm d}x & =
\dfrac{x-\sin{x}\cos{x}}{2} + C
\end{align}
\]
</p>
</div>
<script>
clickableBoxes();
</script>
</body>
</html>