-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 21
/
stochastic.tex
3922 lines (3390 loc) · 147 KB
/
stochastic.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
\documentclass[11pt,a4paper,notitlepage,fleqn,final]{article}
\input{preambles/preamble2017.tex}
\title{Στοχαστικό Σήμα
\\
{
\normalsize Σημειώσεις από τις παραδόσεις
}}
\date{2017
\\
{
\small Τελευταία ενημέρωση: \today
}
}
\author{
Για τον κώδικα σε \LaTeX, ενημερώσεις και προτάσεις:
\\
\url{https://github.com/kongr45gpen/ece-notes}}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\setsansfont{Ubuntu}
%\newfontfamily\greekfont[Script=Greek]{Linux Libertine O}
%\newfontfamily\greekfontsf[Script=Greek]{Linux Libertine O}
\usepackage{polyglossia}
\newfontfamily\greekfont[Script=Greek,Scale=0.95]{GFS Artemisia}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\setcounter{section}{-1}
\section{Εισαγωγή}
\textbf{Στοχαστικό σήμα} - δεν σημαίνει στοχάζομαι
(σκέφτομαι), αλλά
τυχαίο σήμα
\paragraph{Ντετερμινιστικό σήμα}
\( A_c\cos(2\pi f t + \sfrac{\pi}{2}) \)
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw (0,-1) -- (0,1);
\draw[->] (-0.5,0) -- (2.6,0);
\draw[very thick,xscale=0.5,yscale=0.7,samples=50,domain=0:5,smooth,variable=\x,blue]
plot ({\x},{sin(pi*\x r)});
\end{tikzpicture}
Για κάθε χρόνο \(t\) μπορούμε να βρούμε την τιμή του
σήματος.
Αν γνωρίζουμε τα πάντα για
την αρχική κατάσταση ενός συστήματος
(π.χ. του σύμπαντος), μπορούμε να προβλέψουμε
(ίσως με δυσκολία) κάθε επόμενη κατάστασή του.
Οι περισσότερες διαδικασίες στη φύση είναι τυχαίες.
\paragraph{Διαδικαστικά}
Το μάθημα γίνεται σε δύο τμήματα μόνο από τον κ. Δημάκη. Το
ένα τμήμα της Τρίτης θα μεταφερθεί στο μεσημέρι της Πέμπτης.
Ασκήσεις και λύσεις τους θα αποστέλλονται στο e-mail.
\paragraph{}
\begin{itemize}
\item Ένα σκυλί δάγκωσε έναν άνθρωπο στο δρόμο
\( \leftarrow \) δεν είναι πληροφορία, επειδή έχει
μεγάλη πιθανότητα να συμβεί.
\item Ένας άνθρωπος δάγκωσε έναν σκύλο στο δρόμο
\( \leftarrow \) είναι πληροφορορία, επειδή έχει μικρή
πιθανότητα.
\end{itemize}
\section{Θεωρία Πιθανοτήτων}
Ασχολείται με τυχαία γεγονότα, δηλαδή γεγονότα το αποτέλεσμα
των οποίων:
\begin{itemize}
\item Δεν μπορούμε να προβλέψουμε
\item Δεν μπορούμε να καταλάβουμε ή
\item Έχει πάρα πολλά στοιχεία που το επηρεάζουν
\end{itemize}
και πειράματα τα οποία όταν επαναλαμβάνουμε βγάζουν
διαφορετικό αποτέλεσμα στις ίδιες συνθήκες (π.χ. ρίψη
ζαριού, σε αντίθεση με το μήλο του Νεύτωνα).
Επομένως στα πειράματα τύχης \textbf{δεν μπορεί να
προβλεφθεί ακριβώς η έξοδος}.
\paragraph{Ορισμός Πιθανότητας από Laplace}
\hspace{0pt}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\filldraw[fill=green!20,draw=black!70!green,very thick] plot [smooth cycle]
coordinates {(0.8,1) (1.5,1.7) (2,1.5) (2.6,1.5) (2.5,0.8) (1.9, 0.6) (1.6,0.3) (1.2,0.2) (0.6, 0.7)};
\draw (0,0) rectangle (2.7,2.2) node[below left] {$N$};
\filldraw (1,1) circle(1pt) node[above right] {$1$};
\filldraw (1.5,1.2) circle(1pt) node[above right] {$2$};
\filldraw (0.2,0.4) circle(1pt) node[above right] {$3$};
\filldraw (2,1.1) circle(1pt) node[above right] {$4$};
\filldraw (1.3,0.3) circle(1pt) node[above right] {$5$};
\filldraw (2.1,0.4) circle(1pt) node[below right] {$6$};
\filldraw (0.3,1.7) circle(1pt) node[above right] {$7$};
\filldraw (0.5,1.1) circle(1pt) node[above right] {$8$};
\draw[->,blue!30!black] (0.2,1.7) to[bend left=45] (-0.5, 2.2) node[above] {ισοπίθανα ενδεχόμενα};
\draw[->,green!30!black] (0.8,0.35) to[bend right=85] (0.5, -1) node[right] {γεγονός};
\end{tikzpicture}
\[
P(A) = \frac{N_A}{N}
\]
Ο ορισμός έχει τα προβλήματα:
\begin{itemize}
\item Δεν αντιστοιχεί σε πραγματικό πείραμα τύχης
\item Είναι κυκλικός (ορίζει την πιθανότητα με βάση
ισο\underline{πίθανα} ενδεχόμενα)
\end{itemize}
\paragraph{Ορισμός Πιθανότητας von Mises}
Εκτελούμε ένα πείραμα τύχης με \(N\) επαναλήψεις. Αν ένα
γεγονός συμβεί \(N_A\) φορές, τότε
\[
P(A) = \lim_{N\to \infty } \frac{N_A}{N}
\]
Όμως είναι δύσκολο να χρησιμοποιηθεί επειδή αντιστοιχεί σε
πραγματικό πείραμα.
\paragraph{Ιδιότητες που προκύπτουν από
τους παραπάνω ορισμούς}
\begin{enumroman}
\item \( 0 \leq P(A) \leq 1 \)
\item \( S \text{ δειγματικός χώρος } \quad
P(S) = 1 \)
\item \( P(A\cup B) = P(A+B) = P(A \text{ ή } B)
= P(A) + P(B) \qquad (A,B \text{ ασυμβίβαστα})
\)
\end{enumroman}
\subsection{Αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας
Wiener - Kolmogorov}
\textbf{Πείραμα} είναι κάθε νοητική ή φυσική διεργασία,
με την οποία
συνδέουμε μία πράξη με κάποιο αποτέλεσμα.
Κάθε εκτέλεση του πειράματος ονομάζεται \textbf{δοκιμή}
Ένα πείραμα έχει έναν δειγματικό χώρο με όλα τα δυνατά
αποτελέσματά του:
\[
S = \left\lbrace J_1,J_2,\dots,J_n \right\rbrace
\]
Ένα \textbf{γεγονός} είναι ένα από τα \( 2^n \) δυνατά
υποσύνολα του \(S\): \[ A \subseteq S \]
\paragraph{Ορισμός}
\( A \to P(A) \)
\begin{enumroman}
\item \( P(A) \geq 0 \)
\item \( P(S) = 1 \)
\item αν \( A \cap B = 0 \), τότε \( P(A \cup B)
= P(A)+P(B) \)
\end{enumroman}
Ο ορισμός αυτός δεν μας δίνει συγκεκριμένη τεχνική υπολογισμού
πιθανοτήτων, επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε
τεχνική (π.χ. Laplace) θέλουμε.
\def\boundingbox{(-2cm,-2cm) rectangle (4cm,2cm)}
\colorlet{circle edge}{blue!50}
\colorlet{circle area}{blue!20}
\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
outline/.style={draw=circle edge, thick}}
\subsection{Ιδιότητες}
\begin{enumpar}
\item \( A = B \implies P(A)=P(B) \) \\
\item \( P(\emptyset) = 0 \)
\item Αφού \( A\cdot\bar A = \emptyset \quad
A+\bar A = S \), τότε:
\begin{align*}
P(A+\bar A) = P(S) = 1 & \quad P(\bar A) = 1 - P(A) \\
P(A) + P(\bar A) = 1
\end{align*}
\item Αν \( A \cdot B \neq \emptyset \), τότε
\[
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A\cdot B) \leq 1
\]
\begin{tikzpicture}[scale=0.65]
\def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)}
\def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)}
\begin{scope}
\clip \firstcircle;
\fill[filled] \secondcircle;
\end{scope}
\draw[outline] \firstcircle node {$A$};
\draw[outline] \secondcircle node {$B$};
\draw \boundingbox;
\draw (1,0) node[scale=0.6] {$A\cap B$};
\end{tikzpicture}
\subparagraph{Απόδειξη}
\begin{align*}
A+B &= A+ \bar A \cdot B \\
B &= A\cdot B + \bar A \cdot B \\
P(A+B) &= P(A) + P(\bar A \cdot B) \\
P(B) &= P(A\cdot B) + P(\bar A \cdot B)\\
P(A+B) &= P(B)+P(A) -P(AB)
\end{align*}
\item \( A \subseteq B \implies P(A) \leq P(B) \)
\begin{tikzpicture}[scale=.7]
\draw[outline] (1,0) circle (1.5cm) node {$B$};
\draw[outline] (0.5,-0.75) circle (0.4cm) node {$A$};
\draw \boundingbox;
\end{tikzpicture}
\begin{align*}
\intertext{επειδή}
B &= A + \bar A \cdot B \\
P(B) &= P(A) + P(\bar A\cdot B) \geq P(A)
\end{align*}
\item Υπό συνθήκη πιθανότητα
\[
P(A/B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
\]
\begin{tikzpicture}
\filldraw (-0.1,0) circle (1.5pt);
\draw (0,0) node[below right,yshift=2.5mm,rectangle,align=left]
{Αν $A\cdot B=\emptyset$\\$P(A/B)=0$};
\begin{scope}[xshift=5cm,yshift=3mm]
\draw (0,0) rectangle (-1.5,-1);
\draw[fill=blue,fill opacity=0.2] (-0.375,-0.5) circle (2.5mm);
\draw[fill=blue,fill opacity=0.2] (-1.125,-0.5) circle (2.5mm);
\draw (-0.8,-0.2) node[scale=.8] {$A$};
\draw (-0.13,-0.2) node[scale=.8] {$B$};
\draw (-1.3,0) arc(360:270:0.2) node[xshift=0.8mm,yshift=1.1mm,scale=.5] {$S$};
\end{scope}
\begin{scope}[yshift=-1.5cm]
\filldraw (-0.1,0) circle (1.5pt);
\draw (0,0) node[below right,yshift=2.5mm,rectangle,align=left]
{Αν $A\subset B$\\$A\cdot B = A$\\$P(A/B)=\frac{P(A)}{P(B)}$};
\begin{scope}[xshift=5cm,yshift=3mm]
\draw (0,0) rectangle (-1.5,-1);
\draw[fill=blue,fill opacity=0.2] (-0.75,-0.5) circle (4mm);
\draw[fill=blue,fill opacity=0.2] (-0.75,-0.5) circle (1.5mm);
\draw (-0.75,-0.5) node[scale=.7] {$A$};
\draw (-0.25,-0.2) node[scale=.8] {$B$};
\draw (-1.3,0) arc(360:270:0.2) node[xshift=0.8mm,yshift=1.1mm,scale=.5] {$S$};
\end{scope}
\end{scope}
\begin{scope}[yshift=-3.5cm]
\filldraw (-0.1,0) circle (1.5pt);
\draw (0,0) node[below right,yshift=2.5mm,rectangle,align=left]
{Αν $A\supset B$\\$A\cdot B = B$\\$P(A/B)=\frac{P(B)}{P(B)}=1$};
\begin{scope}[xshift=5cm,yshift=3mm]
\draw (0,0) rectangle (-1.5,-1);
\draw[fill=blue,fill opacity=0.2] (-0.75,-0.5) circle (4mm);
\draw[fill=blue,fill opacity=0.2] (-0.75,-0.5) circle (1.5mm);
\draw (-0.75,-0.5) node[scale=.7] {$B$};
\draw (-0.25,-0.2) node[scale=.8] {$A$};
\draw (-1.3,0) arc(360:270:0.2) node[xshift=0.8mm,yshift=1.1mm,scale=.5] {$S$};
\end{scope}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm,yshift=2cm]
\draw (0,0) rectangle (-1.5,-1);
\draw[fill=blue,fill opacity=0.2] (-0.6,-0.5) circle (3mm);
\draw[fill=blue,fill opacity=0.2] (-0.9,-0.5) circle (3mm);
\draw (-1.33,-0.5) node[scale=.8] {$A$};
\draw (-0.17,-0.5) node[scale=.8] {$B$};
\draw (-1.3,0) arc(360:270:0.2) node[xshift=0.8mm,yshift=1.1mm,scale=.5] {$S$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\item \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.north)]
\draw (0,0) rectangle (4,2);
\draw[orange,fill=orange!50!white] (2,1) circle (0.8cm);
\draw plot [smooth,tension=1] coordinates {(0.6,2) (1.5,1.6) (2,1.3) (2.5,1.6) (3.4,2)};
\draw plot[smooth,tension=1.5] coordinates {(0.4,0) (2,0.9) (3.6,0)};
\draw plot[smooth,tension=2] coordinates {(2,1.3) (2.1,1.1) (2,0.9)};
\draw[brown!50!black] (0,1.7) arc (270:360:0.3);
\draw[brown!50!black] (0.12,1.87) node {$\mathsmaller{S}$};
\draw (2,1.7) node {$A_1$};
\draw (3.4,1.1) node {$A_2$};
\draw (2,0.4) node {$A_3$};
\draw (0.8,1.1) node {$A_4$};
\draw[orange!70!black] (2.85,0.35) node {$B$};
\end{tikzpicture}
Έστω ένας διαμερισμός του δειγματικού χώρου και ένα
ενδεχόμενο \( B \) αυτού, δηλαδή:
\begin{gather*}
A_1+A_2+A_3+A_4 = S \\
A_i A_j = \emptyset \ \forall i,j \\[.3ex]
(B \cdot A_i) \cdot (B \cdot A_j) = \emptyset
\end{gather*}
Τότε:
\begin{align*}
B &= B\cdot S = B(A_1+A_2+A_3+A_4) \\
B &= B\cdot A_1 + B\cdot A_2 + B\cdot A_3 + B\cdot A_4 \\
P(B) &= P(BA_1) + P(BA_2) + P(BA_3) + P(BA_4)
\intertext{\( P(B/A_i) = \frac{P(B)\cdot A_i}{P(A_i)} \)}
\intertext{\( P(BA_i) = P(B/A_i)\cdot P(A_i) \)}
P(B) &= P(B/A_1)P(A_1)+P(B/A_2)P(A_2)+P(B/A_3)P(A_3)
+P(B/A_4)P(A_4)
\end{align*}
Το παραπάνω (\textbf{θεώρημα ολικής πιθανότητας})
εκφράζεται γενικά ως εξής:
\[
P(B) = \sum_{i=1}^{m} P(A_i)P(B/A_i)
\]
\item
Από την παραπάνω ιδιότητα έχουμε:
\begin{align*}
P(A_iB) &= P(B)P(A_i/B) = P(A_i)P(B/A_i) \\
P(A_i/B) &= \frac{P(B/A)P(A_i)}{P(B)} \\
\Aboxed{
P(A_i/B) &=
\frac{P(B/A_i)P(A_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B/A_i)}
} \qquad \text{\textbf{Θεώρημα Bayes}}
\end{align*}
\end{enumpar}
\paragraph{Παράδειγμα}
\hspace{0pt}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={scale=0.8}]
\draw (0,0) rectangle node[midway] {Πομπός} (2,1);
\draw (2.5,0.2) rectangle node[midway] {Κανάλι} ++(1.2,0.6);
\draw (4.2,0) rectangle node[midway] {Δέκτης} ++(2,1);
\draw[->] (2,0.5) --++ (0.5,0);
\draw[->] (3.7,0.5) --++ (0.5,0);
\draw (0,-0.5) node[right] {$A=\lbrace A_1,A_2,A_3,A_4\rbrace$};
\end{tikzpicture}
Η είσοδος μπορεί να είναι ένα αλφάβητο \( A \):
\begin{align*}
A &= \left\lbrace A_1,A_2,A_3,A_4 \right\rbrace
\intertext{με πιθανότητες για το καθένα:}
\Pi_A &= \left\lbrace
\Pi_{A_1},\Pi_{A_2},\Pi_{A_3},\Pi_{A_4}
\right\rbrace
\end{align*}
Το κανάλι ποτέ δεν θα μεταφέρει ακριβώς την πληροφορία, αλλά θα
την μεταβάλλει με κάποιον τρόπο (π.χ. θόρυβος). Αν \( B \) είναι το
αλφάβητο εξόδου, έχουμε:
\begin{align*}
B &= \left\lbrace B_1,B_2,B_3,B_4 \right\rbrace \\
\Pi_B &= \left\lbrace
\Pi_{B_1},\Pi_{B_2},\Pi_{B_3},\Pi_{B_4}
\right\rbrace
\end{align*}
Για να μελετήσουμε το κανάλι, μπορούμε να βάλουμε κάποιον να μετράει
τις πιθανότητες εμφάνισης κάποιας εξόδου με δεδομένη είσοδο (για
παράδειγμα, να στείλουμε 100\,000 φορές την είσοδο \( A_1 \), και
να μετρήσουμε πόσες φορές εμφανίζεται η κάθε έξοδος). Έτσι έχουμε
τις υπό συνθήκη (\textbf{a posteriori}) πιθανότητες:
\[
\Pi_{B/A} = \begin{cases}
\Pi(B_1/A_1),\ \Pi(B_1/A_2),\ \Pi(B_1/A_3), \dots \\
\Pi(B_2/A_1),\ \Pi(B_2/A_2),\ \dots \\
\vdots
\end{cases}
\]
Από τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε:
\[
P(B_1) = P(A_1)P(B_1/A_1)
+P(A_2)P(B_1/A_2)
+P(A_3)P(B_1/A_3)
+P(A_4)P(B_1/A_4)
\]
Άρα:
\[
% \mathlarger{
P(A_i/B_j) = \frac{P(B_j/A_i)P(A_i)}{
\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B_j/A_i)
}
% }
\]
Έτσι, για κάθε έξοδο, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα
να προέρχεται από μια είσοδο.
Αν π.χ. έχουμε: \begin{align*}
P(A_1/B_4) &= 70\% \\
P(A_2/B_4) &= 15\% \\
P(A_3/B_4) &= 8\% \\
P(A_4/B_4) &= 7\%
\end{align*}
μπορούμε να φανταστούμε ότι η έξοδος \( B_4 \) αντιστοιχεί με
μεγαλύτερη πιθανότητα σε είσοδο \( A_1 \), σύμφωνα με το κριτήριο
\textbf{MAP} (\textit{maximum a-posteriori probability}).
Είναι συχνό βέβαια να μη γνωρίζουμε τις \todo{a-priori?}
πιθανότητες \( P(A_i) \), οπότε μπορούμε να καταφύγουμε σε κόλπα,
όπως να θεωρήσουμε ότι τα ενδεχόμενα της εισόδου είναι ισοδύναμα.
\subsubsection{Σήματα}
\hspace{0pt}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\fill[cyan!40,path fading=north] (-1,1.125) rectangle (8,2);
\fill[cyan!40,path fading=south] (-1,-1.125) rectangle (8,-2);
\fill[green,opacity=.15] (-1,1.125) rectangle (8,0);
\fill[yellow,opacity=.2] (-1,-1.125) rectangle (8,0);
\draw[dashed] (-1,1.125) -- (8,1.125);
\draw[dashed] (-1,-1.125) -- (8,-1.125);
\draw (-1,0) -- (8,0);
\draw (0,-2) -- (0,2);
\def\1{1.5};
\def\2{0.75}
\def\3{-0.75}
\def\4{-1.5}
\draw (-0.1,\1) node[left,scale=.7] {$1$} -- (0.1,\1);
\draw (-0.1,\2) node[left,scale=.7] {$2$} -- (0.1,\2);
\draw (-0.1,\3) node[left,scale=.7] {$3$} -- (0.1,\3);
\draw (-0.1,\4) node[left,scale=.7] {$4$} -- (0.1,\4);
\draw (-1.5,\1) node {$a$};
\draw (-1.5,\2) node {$b$};
\draw (-1.5,\3) node {$c$};
\draw (-1.5,\4) node {$d$};
\draw (-0.8,\1) node[scale=.6] {$\mathtt{11}$};
\draw (-0.8,\2) node[scale=.6] {$\mathtt{10}$};
\draw (-0.8,\3) node[scale=.6] {$\mathtt{01}$};
\draw (-0.8,\4) node[scale=.6] {$\mathtt{00}$};
\draw[very thick,black] plot [const plot] coordinates
{(0,\2) (1,\4) (2,\1) (3,\2) (4,\3) (5,\2) (6,\4) (7,\1) (8.1,\1)}
node[above right] {αρχικό σήμα};
\foreach \x in {1,2,3,...,5} {
\draw[draw=gray] (\x,-0.1) -- (\x,0.1) node[midway,below left,scale=.6] {$\x T$};
}
\draw (6,0) node[below left,scale=.6] {$\cdots$};
\draw[very thick,orange!70!brown] plot [smooth,tension=.2] coordinates
{(0,0) (0.15,0.4) (0.3,1.05) (0.4,1.1) (0.5,1) (0.6,1.10)
(0.7,1+rand/5) (1,rand/10) (1.2,-1.5+rand/3) (1.4,-1.5+rand/4) (1.5,-1.5+rand/5)
(1.6,-1.5+rand/4) (1.8,-1.5+rand/2) (1.9,-0.75+rand/2) (2,rand/5) (2.1,0.7+rand/3)
(2.2,1.2+rand/3) (2.4,1.5+rand/5) (2.6,1.5+rand/5) (2.7,1.2+rand/6) (2.9,1+rand/5)
(3.1, 0.7+rand/4) (3.3, 0.8+rand/5) (3.4, 0.8+rand/4) (3.6,0.5+rand/3) (3.8,0.9+rand/4)
(4,1+rand/4) (4.1,rand/4) (4.2, 0.4+rand/4) (4.3, -0.3+rand/3) (4.4, -0.5+rand/4)
(4.5,-0.5+rand/5) (4.6,-0.5+rand/6) (4.8,-0.3+rand/4) (5,0+rand/4) (5.2,0.3+rand/4)
(5.4,0.6+rand/4) (5.6,1+rand/4) (5.8,0.8+rand/4) (5.9,rand/4) (6,rand/7)
(6.2,-0.2+rand/4) (6.4,-1.3+rand/4) (6.6, -0.5+rand/5) (6.8,0.5+rand/3)
(7,1+rand/3) (7.2,2+rand/4) (7.4,1.6+rand/4) (7.6,1.3+rand/6) (7.8,1.3+rand/8)
(8,1.3)} node[below right] {σήμα με θόρυβο};
\draw[very thick,green!50!black] plot [smooth] coordinates
{(0,0) (0.3,1) (0.7,1) (1.5,-1.5) (2.5,1.5) (3.6,0.6) (3.9,0.8)
(4.6,-0.5) (5.6,0.85) (6.4,-1.2) (7.1,1.7) (7.7,1.5) (8,1.4)}
node[right] {σήμα χωρίς υψηλές συχνότητες};
\end{tikzpicture}
Ένα πραγματικό σήμα έχει θόρυβο, όπως φαίνεται στο διάγραμμα.
Το σήμα που στέλνει ο πομπός είναι το αρχικό καθαρό σήμα, ενώ αυτό που λαμβάνει
ο δέκτης είναι το \textcolor{orange!70!brown}{σήμα με θόρυβο}. Ο δέκτης μπορεί
αυτό να το επεξεργαστεί ώστε να πάρει ένα
\textcolor{green!50!black}{σήμα χωρίς υψηλές συχνότητες}. Για
να εξάγουμε την αρχική τιμή του σήματος από την είσοδο με θόρυβο,
μπορούμε να χωρίσουμε τη ζώνη του πλάτους σε διαφορετικές περιοχές,
και κάθε μία από αυτές να την αντιστοιχούμε σε μία τιμή εξόδου,
\( \alpha, \beta, \gamma \) ή \( \delta \). Όπως και πριν, κάθε
είσοδος αντιστοιχεί με διαφορετική πιθανότητα σε κάθε έξοδο:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.3]
\coordinate (a) at (2,6);
\coordinate (b) at (2,4);
\coordinate (c) at (2,2);
\coordinate (d) at (2,0);
\coordinate (1) at (0,6);
\coordinate (2) at (0,4);
\coordinate (3) at (0,2);
\coordinate (4) at (0,0);
\draw[green!50!blue!50!white,->] (1.7,6.02) to[bend left] (3.5,7)
node[right] {$P(1/a)$};
\draw[green!50!blue!50!white,->] (1.58,5.65) to[bend right] (3.2,6)
node[right] {$P(2/a)$};
\draw[green!50!blue!50!white,->] (1.20,4.56) to[bend left=20] (3,5.2)
node[right] {$P(3/a)$};
\draw[green!50!blue!50!white,->] (1.36,4.37) to[bend right=20] (3,4.4)
node[right] {$P(4/a)$};
\foreach \x in {2,3,4}
\foreach \y in {a,b,c,d}
\draw (\x) to[bend left={5-\x}] (\y);
\draw (1) to[bend left=4] node[midway,above] {$P(a/1)$} (a);
\draw (1) to[bend left=4] node[midway,above,sloped] {$P(\beta/1)$}(b);
\draw (1) to[bend left=4] node[midway,above,sloped] {$\cdots$} (c);
\draw (1) to[bend left=4] (d);
\foreach \x in {1,2,3,4}
\fill (\x) circle (2pt) node[left] {$P_\x \qquad \x$};
\fill (a) circle (2pt) node[right] {$a$};
\fill (b) circle (2pt) node[right] {$\beta$};
\fill (c) circle (2pt) node[right] {$\gamma$};
\fill (d) circle (2pt) node[right] {$\delta$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\subsubsection{Ανεξαρτησία}
Δύο γεγονότα λέγονται ανεξάρτητα ανν:
\[
P(A\cdot B) = P(A)P(B)
\]
Ομοίως ορίζεται η ανεξαρτησία για περισσότερα ενδεχόμενα, ανν:
\[
P(A_1A_2\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)
\]
\subsection{Πιθανοτικό Μοντέλο}
Ένας δειγματικός χώρος \( S \) έχει μεγάλο αριθμό δυνατών υποσυνόλων,
και στο καθένα από αυτά αντιστοιχεί μία πιθανότητα. Για εμάς μπορεί
να είναι εύκολο/δυνατό να βρούμε την πιθανότητα μόνο για μερικά
από αυτά τα υποσύνολα, επομένως ονομάζουμε αυτά γεγονότα, και τα
τοποθετούμε σε μια τάξη συνόλων \( \mathcal F \), που θα ικανοποιούν:
\begin{enumroman}
\item \( \emptyset \in \mathcal F,\
S \in \mathcal{F}
\)
\item \( A \in \mathcal F \) και το \( \bar A \in \mathcal F \)
\item \( A \in \mathcal F \) και \( B \in \mathcal F \)
\( \implies A + B \in \mathcal F \) \quad
(τότε θα έχουμε και \( A\cdot B,\ A-B \in \mathcal F \))
\end{enumroman}
Τότε προκύπτει, αν \( A_1,A_2,\dots,A_n \in \mathcal F \):
\begin{gather*}
A_1+A_2+\dots +A_n \in \mathcal F \\
A_1\cdot A_2 \cdot \cdots \cdot A_n \in \mathcal F
\end{gather*}
Το πεδίο \( \mathcal F \) ονομάζεται \textbf{πεδίο Borel}.
Αν έχουμε τα \( \mathlarger{\mathlarger{(S,\mathcal F,P)}} \),
δηλαδή το
δειγματικό χώρο, ένα πεδίο Borel, και τις αντίστοιχες πιθανότητές
του, τότε έχουμε ένα πλήρες πιθανοτικό μοντέλο.
\paragraph{Σύνολο με πεπερασμένο αριθμό γεγονότων}
\begin{align*}
S &= \left\lbrace J_1,J_2,\dots,J_n \right\rbrace \\
P_i \to \quad A_1 &=
\left\lbrace J_i \right\rbrace \in \mathcal F \\
& P_1+P_2+\dots+P_N = 1 \\
A &= \left\lbrace J_{k_1},J_{k_2},\dots,J_{k_i} \right\rbrace
\quad i \leq n \qquad \text{(επιλέγουμε μερικά
απλά ενδεχόμενα από τον χώρο $S$)} \\
P(A) &= P\left\lbrace J_{k_1} \right\rbrace +
P\left\lbrace J_{k_2} \right\rbrace + \dots +
P\left\lbrace J_{k_i} \right\rbrace \\ &=
P_{k_1} + P_{k_2} + \dots + P_{k_n}
\end{align*}
\paragraph{Σύνολο με πραγματικούς αριθμούς}
Όταν, για παράδειγμα, περιμένουμε το λεωφορείο στη στάση, ο χρόνος
\( t \) που πρέπει να περιμένουμε μέχρι να έρθει είναι πραγματικός
αριθμός:
\begin{gather*}
t_1 \leq t \leq t_2 \\ t_1,t_2 \in [0,+\infty)
\end{gather*}
Θα προσπαθήσω να δώσω μια πιθανότητα της μορφής
\( P(0 \leq t \leq t_1) \)
σε κάθε διάστημα.
Έστω λοιπόν μια \underline{\( f(t) \)} με \( f(t) \leq 0 \) και
\( \displaystyle \int_0^\infty f(t) = 1 \). Τότε μπορώ να ορίσω:
\[
P\left\lbrace 0 \leq t \leq t_1 \right\rbrace =
\int_0^{t_1} f(t)\dif t.
\]
Με αυτόν τον τρόπο μπορώ να ορίσω και πιθανότητες για \( t \) που
δεν ξεκινούν από το 0, παρατηρώντας ότι:
\begin{align*}
0 \leq t \leq t_2 &= \left(0 \leq t \leq t_1\right) \ + \ \left(t_1\leq t \leq t_2\right) \\
P\left\lbrace 0\leq t \leq t_2 \right\rbrace &=
P\left\lbrace 0 \leq t \leq t_1 \right\rbrace + P\left\lbrace
t_1 \leq t \leq t_2 \right\rbrace \\
\int_0^{t_2} f(t)\dif t - \int_0^{t_1} f(t)\dif t &=
P\left\lbrace t_1 \leq t \leq t_2 \right\rbrace \\
P\left\lbrace t_1<t\leq t_2 \right\rbrace =
\int_{t_1}^{t_2} f(t)\dif t
\end{align*}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-0.2,0) -- (3,0);
\filldraw (0,0) circle (1pt) node[below] {$0$};
\filldraw (1,0) circle (1pt) node[below] {$t_1$};
\filldraw (2,0) circle (1pt) node[below] {$t_2$};
\draw[thick,black!70!blue] (0,0) -- (0.25,0.3) -- (0.75,0.3) -- (1,0);
\draw[thick,black!70!blue] (1,0) -- (1.25,0.3) -- (1.75,0.3) -- (2,0);
\draw[thick,black!80!blue] (0,0) -- (0,0.5) -- (2,0.5) -- (2,0);
\end{tikzpicture}
Η \( f(t) \) επομένως είναι μια συνάρτηση γραμμικής πυκνότητας.
\subparagraph{Πιθανότητα στιγμής}
Πόση είναι η πιθανότητα για μια στιγμή, "μηδενικής" διάρκειας;
\begin{align*}
\lim_{\epsilon\to 0} P(t_2-\epsilon < t \leq t_2) &=
\lim_{\epsilon\to 0} \int_{t_2-\epsilon}^{t_2} f(t)\dif t
\\ &= \int_{t_2}^{t_2} f(t)\dif t = 0.
\end{align*}
\paragraph{Πιθανότητα πολλαπλών πειραμάτων}
Έχουμε δύο πειράματα με διαφορετικούς δειγματικούς χώρους:
\begin{align*}
S_A &= \left\lbrace a_1,a_2,\dots,a_n \right\rbrace \\
S_B &= \left\lbrace \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n \right\rbrace
\end{align*}
Αν πραγματοποιήσουμε και τα δύο πειράματα, παίρνουμε έναν δειγματικό
χώρο που είναι το καρτεσινό γινόμενο του καθενός, το οποίο
αποτελείται από διατεταγμένα ζεύγη γεγονότων:
\[
S = S_A \times S_B = \left\lbrace
(a_1,\beta_1),(a_1,\beta_2),\dots,(a_2,\beta_1),(a_2,\beta_2),\dots,
(a_n,\beta_n)
\right\rbrace
\]
με παρόμοιο αποτέλεσμα αν τα \( S_A,S_B \) είναι σύνολα πραγματικών
αριθμών.
Για παράδειγμα, έχουμε:
\begin{align*}
A_i &= \left\lbrace a_1,a_2 \right\rbrace \in S_A \\
B_j &= \left\lbrace \beta_3 \right\rbrace \in S_B \\
C &= A_i \times B_j = \left\lbrace
(a_1,\beta_3),(a_2,\beta_3) \right\rbrace \subseteq S = S_A \times S_B
\end{align*}
Το ερώτημα που προκύπτει είναι, αν γνωρίζουμε τις πιθανότητες
\( P(A_i), P(B_i) \), πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα
των γεγονότων του \( C \);
Αν τα δύο πειράματα είναι \textit{ανεξάρτητα}, τότε έχουμε:
\[
P(A_i,B_j) = P(A_iB_j)
\]
Στην περίπτωση που δεν υπάρχει ανεξαρτησία, θα πρέπει να μελετηθεί
εκ νέου ο δειγματικός χώρος \( S \) των δύο πειραμάτων. Αν όμως
γνωρίζουμε τις πιθανότητες του \( S \), μπορούμε να υπολογίσουμε
τις αρχικές (marginal) πιθανότητες:
\begin{align*}
P(A_i) &= \sum_j P(A_i, B_j) \\
P(B_j) &= \sum_i P(A_i, B_j) \\
P(A_i/B_j) &= \frac{P(A_iB_j)}{P(B_j)}
\end{align*}
\section{Τυχαίες Μεταβλητές}
\subsection{Ορισμός}
Ας κάνουμε ένα πείραμα. Στο πείραμα έχουμε τρία κουτιά. Σε κάθε
κουτί υπάρχει μια άσπρη και μια μαύρη μπάλα, και τραβάω μία από
κάθε κουτί.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\def\sphere#1#2#3{
\begin{scope}
\clip {#1} circle (#2);
\draw [fill=black!70] {#1} circle (#2);
\begin{scope}%[transform canvas={rotate=45}]
\shade [ball color={#3},yshift={#2*0.6}] {#1} ellipse (#2*1.8 and #2*1.6);
\end{scope}
\end{scope}
}
\def\cr{1.7mm}
\def\js{0.8cm}
\begin{scope}[]
\sphere{(0,0)}{\cr}{white}
\sphere{(0.5,0)}{\cr}{black}
\draw (-0.3,0.3) rectangle (0.5+0.3,-0.3);
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=2cm]
\sphere{(0,0)}{\cr}{white}
\sphere{(0.5,0)}{\cr}{black}
\draw (-0.3,0.3) rectangle (0.5+0.3,-0.3);
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4cm]
\sphere{(0,0)}{\cr}{white}
\sphere{(0.5,0)}{\cr}{black}
\draw (-0.3,0.3) rectangle (0.5+0.3,-0.3);
\end{scope}
\draw[->,thick] (0.3,-0.5) to[bend left=20] (\js+1cm,-1);
\draw[->,thick] (2.3,-0.5) to[bend left=20] (\js+1.6cm,-1);
\draw[->,thick] (4.3,-0.5) to[bend right=30] (\js+2.2cm,-1);
\begin{scope}[yshift=-1.5cm,xshift=\js]
\draw (0,0) node {$J_1=$};
\draw (0.3,0) node[right,scale=1] {$\bigg\{$};
\sphere{(1,0)}{\cr}{white}
\sphere{(1.6,0)}{\cr}{black}
\sphere{(2.2,0)}{\cr}{white}
\draw (2.9,0) node[left,scale=1] {$\bigg\}$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{align*}
S_A &= \left\lbrace \varLambda, M \right\rbrace
= \left\lbrace J_{A_1},J_{A_2} \right\rbrace \\
S_B &= \left\lbrace \varLambda, M \right\rbrace
= \left\lbrace J_{B_1},J_{B_2} \right\rbrace \\
S_\varGamma &= \left\lbrace \varLambda, M \right\rbrace
= \left\lbrace J_{\varGamma_1},J_{\varGamma_2} \right\rbrace
\end{align*}
\begin{align*}
S &= S_A \times S_B \times S_\varGamma \\
&= \left\lbrace \varLambda\varLambda\varLambda,
\varLambda\varLambda M,\dots,MMM \right\rbrace
\\ &= \left\lbrace J_1,J_2,\dots,J_8 \right\rbrace
\end{align*}
\[
P(J_i) = P(J_{A_i}) P(J_{B_i}) P(J_{\varGamma_i})
\]
Έστω ότι αυτό είναι ένα παιγνίδι με πόντους, όπου οι λευκές μπάλες
δίνουν 1 πόντο, ενώ οι μαύρες αφαιρούν 1.
\[
\begin{array}{c|c|c|l}
& \text{Επιλογή} & \text{Πιθ. επιλογής} & \text{Πόντοι} \\
i & J_i & P(J_i) & \\ \hline
1 & \varLambda\varLambda\varLambda & p^3 & 3 \\ \hline
2 & \varLambda\varLambda M & p^2(1-p) & 1 \\ \hline
3 & \varLambda M \varLambda & p^2(1-p) & 1 \\ \hline
4 & M\varLambda\varLambda & p^2(1-p) & 1 \\ \hline
5 & \varLambda M M & p(1-p)^2 & -1 \\ \hline
6 & M \varLambda M & p(1-p)^2 & -1 \\ \hline
7 & \varLambda M \varLambda & p(1-p)^2 & -1 \\ \hline
8 & M M M & (1-p)^3 & -3 \\ \hline
\end{array}
\]
Αν σε ένα πείραμα τύχης αποκαταστήσουμε μια σχέση που αντιστοιχεί
το αποτέλεσμα σε έναν αριθμό (ακέραιο, πραγματικό, \dots\ — για παράδειγμα
οι πόντοι), τότε έχουμε μία τυχαία μεταβλητή.
\paragraph{2\textsuperscript{ο} Παράδειγμα}
Σε ένα κουτί υπάρχουν αντιστάσεις \( R= 100\, \Omega \)
με ανοχή \( 0.1\% \).
Αυτό είναι ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο
\( S = \left\lbrace J_1,\dots,J_n \right\rbrace \), και το εύρος
της τιμής για κάθε αντίσταση είναι \( x=x(J_i), \quad
99,9 \leq x(J_i) \leq 100.1 \), δηλαδή \( x \in [99.9,\ 100.1] \).
\paragraph{Τυχαία μεταβλητή} ονομάζεται μία συνάρτηση \( X \)
που αντιστοιχεί κάθε ένα αποτέλεσμα \( J \in S \) του πειράματός μας
σε έναν αριθμό \( X=X(J) \).
\paragraph{}
Για παράδειγμα, στο αρχικό παιχνίδι μπορώ να γράψω:
\begin{align*}
C &= \left\lbrace \varLambda\varLambda\varLambda,
\varLambda\varLambda M, \varLambda M \varLambda,
M\varLambda\varLambda \right\rbrace
\\ &= \left\lbrace 1 \leq x \leq 3 \right\rbrace
\end{align*}
\paragraph{}
Η συνάρτηση \( X \) επομένως αντιστοιχεί κάθε ενδεχόμενο του \( S \)
σε έναν αριθμό (φυσικό αν έχουμε αριθμήσιμα αποτελέσματα, πραγματικό
αν είναι μη αριθμήσιμα):
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.8]
\draw (-1.2,0) node[left] {$S$};
\draw (0,0) ellipse (1 and 1.3);
\draw[->,thick] (1,0) to[bend left=10] node[midway,above] {$X(J)$} (4-1.1,0);
\draw (4,0) ellipse (1.1 and 1.27);
\node at ($(4,0)+(70:1.1 and 1.27)$)[above right] {$\mathbb C$};
\node at ($(4,0)+(30:1.1 and 1.27)$)[above right] {$\mathbb R$};
\node at ($(4,0)+(-10:1.1 and 1.27)$)[above right] {$\mathbb N$};
\node at ($(4,0)+(-40:1.2 and 1.3)$)[right] {$\mathbb X = X(J)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\subsection[Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας]{
Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας \\ (Probability Distribution
Function - PDF)}
\( \mathlarger{F(x)} \)
\begin{defn}{Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας}{}
Ως συνάρτηση κατανομής πιθανότητας για μία τυχαία μεταβλητή \( X \)
ορίζεται η συνάρτηση που ικανοποιεί:
\[
P\left\lbrace X \leq x \right\rbrace = F_X(x)
\]
\end{defn}
Δηλαδή μας δίνει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι
μικρότερη από έναν αριθμό:
\begin{tikzpicture}[scale=.8]
\draw[thick] (-2,0) -- (2,0);
\draw (-1,0) -- (-1,0.7) -- ++(2,0) -- (1,0);
\filldraw (-1,0) circle (2pt) node[below] {$x_1$};
\filldraw (1,0) circle (2pt) node[below] {$x_2$};
\draw (current bounding box.north) node[above,yshift=5mm]
{$\big\{ x_1 < x \leq x_2 \big\}$};
\draw (current bounding box.south) node[below,align=left,yshift=-3mm]
{$P\big\{ x = -\infty\big\} = 0$\\
$P\big\{ x = +\infty\big\} = 0$};
\end{tikzpicture}
\paragraph{Ιδιότητες}
Η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί μερικές ιδιότητες:
\begin{enumroman}
\item \( F_X(-\infty) = 0 \qquad
\mathsmaller{P\left\lbrace X\leq-\infty \right\rbrace = 0} \)
\item \( F_X(+\infty) = 1 \qquad
\mathsmaller{P\left\lbrace X\leq+\infty \right\rbrace = P(S)}\)
\item \( F_X(x_1) \leq F_X(x_2) \text{ ανν } x_1 \leq x_2 \)
(δηλαδή είναι \textbf{αύξουσα}, όχι όμως απαραίτητα γνησίως αύξουσα)
\item Απαιτούμε να είναι \textbf{συνεχής από τα δεξιά}, δηλαδή
\( F_X(x^+) = F_X(x) \).
\begin{tikzpicture}[scale=.6,every node/.style={scale=.8},yscale=.9]
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (1.2,0) -- ++(0,0.5) --++(-2,0);
\draw (0.5,0) -- ++(0,1) --++(-2,0);
\draw (-0.5,0) -- ++(0,1.5) --++(-1.5,0);
\filldraw (-0.5,0) circle (2pt) node[below] {$x_1$};
\filldraw (0.5,0) circle (2pt) node[below] {$x_2$};
\filldraw (1.2,0) circle (2pt) node[below] {$x_3$};
\filldraw (-1.6,0) circle (1.5pt) node[below] {$0$};
\end{tikzpicture}
\end{enumroman}
\paragraph{Παράδειγμα για την ιδιότητα (iv)}
\begin{align*}
F_X(x^+) &= \underset{\epsilon\to 0}{P}
\left\lbrace X \leq x+\epsilon \right\rbrace
\\ &= P\left\lbrace X \leq x \right\rbrace
+ \underset{\epsilon\to 0}{P}\left\lbrace x<X\leq x+\epsilon
\right\rbrace
\end{align*}
\todo{?}
\paragraph{}
Από τη στιγμή που έχουμε την συνάρτηση αυτή, μπορούμε να υπολογίσουμε
τις πιθανότητες οποιουδήποτε διαστήματος. Το πιο συχνό διάστημα είναι
το:
\[
\left\lbrace x_1 < X \leq x_2 \right\rbrace,
\]
του οποίου συχνά καλούμαστε να υπολογίσουμε την πιθανότητα, ενώ θα
έχουμε την συνάρτηση κατανομής \( F_X(x) \).
Για να την υπολογίσουμε έχουμε:
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw (0.4,0) -- (3,0);
\draw[thick] (1,0) -- (1,0.5) -- (2,0.5) -- (2,0);
\draw[very thick,green!70!black] (1,0) -- (0.7,0.4) -- ++(-1,0);
\draw[very thick,green!70!black] (2,0) -- (1.7,0.6) -- ++(-1.8,0);
\filldraw (1,0) circle(2pt) node[below] {$x_1$};
\filldraw (2,0) circle(2pt) node[below] {$x_2$};
\end{tikzpicture}
\begin{align*}
\left\lbrace X \leq x_2 \right\rbrace &=
\left\lbrace X \leq x_1 \right\rbrace +
\left\lbrace x_1 < X \leq x_2 \right\rbrace \\
P\left\lbrace X \leq x_2 \right\rbrace &=
P\left\lbrace X \leq x_1 \right\rbrace +
P \left\lbrace x_1 < X \leq x_2 \right\rbrace \\
\Aboxed{
F_X(x_2) - F_X(x_1) &= P \left\lbrace x_1<X\leq x_2 \right\rbrace
}
\end{align*}
Ένα αποτέλεσμα του παραπάνω είναι:
\begin{align*}
\underset{\epsilon\to 0}{P} \left\lbrace x-\epsilon < X \leq x
\right\rbrace = F_X(x) - \underset{\epsilon\to 0}{F_X}(x-\epsilon)
&= F_X(x^+)-F_X(x^-) \\ &= \begin{cases}
0 & \quad \text{αν είναι συνεχής} \\
\text{η διαφορά των ορίων} & \quad \text{αν δεν είναι συνεχής}
\end{cases} \\ &= \mathlarger{P\left\lbrace X=x \right\rbrace}
\end{align*}
Παρατηρούμε ότι:
\begin{align*}
\text{συνεχής} &\implies P\left\lbrace X=x \right\rbrace = 0\\
\text{ασυνεχής} &\implies P\left\lbrace X=x \right\rbrace\neq 0
\end{align*}
δηλαδή με "πηδήματα" της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας, μπορούμε
να προσδώσουμε πιθανότητα σε σημείο, όπως φαίνεται στα δύο
παραδείγματα παρακάτω.
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw (-4,0) -- (4,0);
\draw (0,-0.7) -- (0,4) node[left] {$F_X$};
\draw (0,0) node[below left] {$0$};
\draw[dashed] (0.7,0) node[below] {$x$} -- (0.7,1) -- (0,1) node[left] {$F_x(x^-)$};
\draw[dashed] (0.7,2) -- (0,2) node[left] {$F_x(x^+)$};
\draw[very thick,blue!50!black] plot[smooth] coordinates {(-3,0.5) (-0.2,0.5) (0.7,1)};
\draw[very thick,blue!50!black] plot[smooth,tension=1] coordinates {(0.7,2) (2.2,3.1) (3.5,3.55)};
\draw[thick,fill=white] (0.7,1) circle (3pt);
\draw[thick,fill=black!70!blue] (0.7,2) circle (3pt);
\begin{scope}[yshift=-4cm]
\draw (-4,0) -- (4,0);
\draw (0,-1) -- (0,3) node[below left] {$F_X$};
\draw[thick,black!70!blue] plot[const plot] coordinates {(-4,0) (.7*1,.7*1) (.7*2,.7*2) (.7*3,.7*3) (.7*4,.7*4) (.7*5,.7*4)};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\subsection{Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας}
\begin{defn}{Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας}{}
Ως συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας \( f_X(x) \) ορίζουμε:
\[
f_X(x) = \od{F_X(x)}{x}
\]
\end{defn}
\paragraph{Ιδιότητες}
\begin{enumroman}
\item \( f_X(x) \geq 0 \)
\item \( \displaystyle
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \dif x = 1\)
\item \( \displaystyle
F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(x)\dif x \)
\item \( \displaystyle
P\left\lbrace x_1 < X \leq x_2 \right\rbrace
= \int_{x_1^+}^{x_2^+} f(x)\dif x \quad
\mathsmaller{=\ F_X(x_2) - F_X(x_1)}
\)
\end{enumroman}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.6]
\draw[dashed] (1.8,0) -- ++(0,2.5) (1.8+0.4,0) -- ++(0,2.5);
\draw[<->] (1.8,2.3) -- ++(0.4,0) node[midway,above,scale=.8] {$\dif x$};
\begin{scope}
\clip plot[smooth,tension=.6] coordinates {(-1,0.04) (-0.5,0.3) (1.3,2) (3,0.3) (3.4,0.03)} |- (0,0) -- (-1,0) -- cycle;
\fill[orange,postaction={pattern=north east lines,opacity=.3},fill opacity=.5] (-1,0) rectangle (0.4,2);
\fill[orange,postaction={pattern=north east lines,opacity=.3},fill opacity=.5] (1.8,0) rectangle ++(0.4,2);
\draw (0.4,0) -- ++(0,2);
\draw (1.8,0) -- ++(0,2) (1.8+0.4,0) -- ++(0,2);
\end{scope}
\draw (0.4,0) node[below] {$x_1$};
\draw (1.8,0) node[below,scale=.7] {$\vphantom{\dif}x$};
\draw (1.8+0.4,0) node[below,scale=.7] {$x+\dif x$};
\draw (-1,0) -- (3.5,0);