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<!DOCTYPE html>
<html lang="fr">
<head>
<meta charset="utf-8">
<title>Soutenance de Stage de Recherche</title>
<meta name="description" content="Soutenance de stage">
<meta name="author" content="José MORAN">
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<div class="reveal">
<div class="slides">
<section>
<h1>Soutenance de stage</h1>
<h3>Algorithme de Monte-Carlo diagrammatique en espace réel</h3>
<center>
<p>José MORAN</p>
<p>X2013</p>
</center>
<img src="Images/cdfw.png" alt="cdf" height="120" style="border:none; margin-right:100px; background:none">
<img src="Images/logoxw.png" alt="polytechnique" height="150" style="border:none; margin-left:100px; background:none">
</section>
<section>
<h2>Plan</h2>
<ul>
<li>Introduction</li>
</ul>
<p>
<ol>
<li class="fragment">Les systèmes électroniques fortement corrélés</li>
<li class="fragment">Le Monte-Carlo diagrammatique</li>
<li class="fragment">Résultats et $\alpha$-shift</li>
</ol>
</p>
<p>
<ul>
<li class="fragment">Conclusion et perspectives</li>
</ul>
</p>
</section>
<section>
<section>
<h3>Les systèmes électroniques fortement corrélés</h3>
<img src="./Images/Cuprates_phasedigagram_en.svg" alt="cuprate pd" style="border:none; background:white">
<center>
<p>
<small>Diagramme de phase des cuprates</small>
</p>
</center>
</section>
<section>
<h3>Les systèmes électroniques fortement corrélés</h3>
<p>
Modèle de Hubbard :
</p>
<center>
<img src="./Images/equationhubbard.svg" height="120" alt="hubbard", style="border:none; background:none">
</center>
<ul>
<li class="fragment">Pas de solution analytique dans le cas général</li>
</ul>
<p class="fragment">$\Rightarrow$ traitement perturbatif avec des diagrammes de Feynman</p>
</section>
</section>
<section>
<section>
<h3>Diagrammes de Feynman</h3>
<p>
<img src="./Images/feyn.png" height="300" alt="feyn", style="border:none; background:white">
</p>
<p>
<img src="./Images/greenexpansion.png" alt="greenexpansion" height="175" style="border:none">
</p>
</section>
<section>
<h3>Expansion diagrammatique de la self-energy</h3>
<p>
<img src="./Images/dyson.png" alt="dyson" height="100" style="border:none">
</p>
<p>
<img src="./Images/selfexpansion.png" alt="selfexpansion" height="275" style="border:none">
</p>
</section>
<section>
<h3>Problèmes</h3>
<ul>
<li class="fragment">Nombre de diagrammes factoriel en l'ordre de perturbation</li>
<li class="fragment">Problème de signe fermionique </li>
</ul>
<p class="fragment">$\Rightarrow$ nécessité d'algorithmes efficaces</p>
</section>
</section>
<section>
<section>
<h3>Algorithme de Monte-Carlo</h3>
<p>Concept : faire du sampling d'une distribution à l'aide d'une chaîne de Markov</p>
<video width="500" controls autoplay loop>
<source src="./animations/anim2part.ogg" type="video/ogg">
</video>
</section>
<section>
<p>Monte-Carlo diagrammatique : on fait une marche aléatoire dans l'espace des diagrammes.</p>
<img src="./animations/diagmc.gif" alt="diagmc" height="300" style="border:none">
<p class="fragment">Le temps que notre algorithme passe dans chaque diagramme nous donne sa valeur</p>
</section>
<section>
<h3>Évaluation de la self-energy</h3>
<p>
<img src="./Images/selfexpansion.png" alt="selfexpansion" height="350" style="border:none">
</p>
</section>
<section>
<h3>Motivations</h3>
<ul>
<li>Proposer une méthode différente des algorithmes de Monte-Carlo diagrammatique existants</li>
<li class="fragment">Calculer de manière efficace</li>
<li class="fragment">Pouvoir étudier la dépendance $\Sigma(i\omega_n, k)$</li>
</ul>
</section>
<section>
<h1>But :</h1>
<h3>Faire un benchmark avec une évaluation de la self-energy dans la limite atomique</h3>
<img src="./Images/atomiclimit.svg" alt="uat" height="80" style="border:none; background:none">
<img src="./Images/selfatom.svg" alt="sat" height="120" style="border:none; background:none">
</section>
</section>
<section>
<section>
<h3>Présentation des résultats</h3>
<p>On calculera une somme partielle de la série de perturbation de $\Sigma$ en $U$.</p>
<p>$\Sigma \simeq \sum_{i=1}^{N_p} \sigma_i U^i$</p>
<p>Pour les résultats présentés, $U=1.2$, $\mu=0.45 U$ et $\beta = 2$.</p>
</section>
<section>
<h3>Premiers résultats</h3>
<p>Bonne convergence de l'algorithme vers les résultats analytiques</p>
<img src="./Images/u12a0/realomega1.png" alt="noshift" height="500" style="borders:none">
</section>
<section>
<p>...les valeurs numériques coïncident très bien avec les valeurs analytiques..</p>
<img src="./Images/u12a0/imomega1.png" alt="noshiftim" height="500" style="borders:none">
</section>
<section>
<p>...mais il est difficile d'extrapoler avec peu d'ordres.</p>
<img src="./animations/rea0.gif" alt="realsigma" height="500" style="borders:none">
<p class="fragment">La série converge-t-elle ?</p>
</section>
</section>
<section>
<section>
<h3>$\alpha$-shift</h3>
<p>Structure analytique de la série perturbative :</p>
<p>$\Sigma=\sum_k \sigma_k U^k$</p>
<p class="fragment"><b>Quel rayon de convergence pour cette série ?</b></p>
</section>
<section>
<p>Exemple pour $U=1.2$</p>
<img src="./Images/polesu12.png" alt="polesu12" height="500" style="borders:none">
<p>Plot complexe de $\Sigma(i\omega_0)$</p>
</section>
<section>
<p>Un exemple plus extrême : $U=3.0$</p>
<img src="./Images/polesu3.png" alt="polesu12" height="500" style="borders:none">
<p>Plot complexe de $\Sigma(i\omega_0)$</p>
</section>
<section>
<h3>Introduction d'un Hamiltonien shifté</h3>
<img src="./Images/shift.svg" alt="shift" height="120" style="border:none; background:none">
<p>Identique au Hamiltonien de départ pour $\xi=U$.</p>
</section>
<section>
<h3>Motivation</h3>
<p>$\Rightarrow$ améliorer la convergence de la série <b>analytique</b>.</p>
<video width="600" controls autoplay loop>
<source src="./animations/polesomega0.ogg" type="video/ogg">
</video>
<p>Structure des poles pour $\Sigma(\omega_0)$</p>
</section>
<section>
<h3>Autres fréquences</h3>
<video width="600" controls autoplay loop>
<source src="./animations/polesomega1.ogg" type="video/ogg">
</video>
<p>Structure des poles pour $\Sigma(\omega_1)$</p>
</section>
<section>
<h3>Autres fréquences</h3>
<video width="600" controls autoplay loop>
<source src="./animations/polesomega3.ogg" type="video/ogg">
</video>
<p>Structure des poles pour $\Sigma(\omega_3)$</p>
</section>
</section>
<section>
<section>
<h3>Résultats </h3>
<h5>$\alpha=0.6\quad U=1.2 \quad \beta=2 \quad \mu = 0.54$</h5>
<p>Convergence nettement améliorée !</p>
<img src="./Images/u12a06/reomega0.png" alt="noshift" height="450" style="borders:none">
</section>
<section>
<p>On parvient même à converger dès l'ordre 2</p>
<img src="./Images/u12a06/imomega0.png" height="500" style="borders:none">
</section>
<section>
<h3>Différence flagrante !</h3>
<img src="./animations/rea06.gif" alt="realsigma" height="500" style="borders:none">
</section>
<section>
<img src="./animations/ima06.gif" alt="imsigma" height="500" style="borders:none">
</section>
</section>
<section>
<section>
<h2>Conclusion</h2>
<ul>
<li>Création et implémentation du premier algorithme de Monte-Carlo diagrammatique en espace-réel</li>
<li>Algorithme testé</li>
<li>Introduction de la technique de resommation $\alpha$-shift</li>
</ul>
</section>
<section>
<h2>Remarques</h2>
<ul>
<li class="fragment">Déjà utilisable pour des modèles d'impuretés</li>
<li class="fragment">Pas restreint à la self-energy, ni au modèle de Hubbard !</li>
<li class="fragment">Extension triviale du code au réseau</li>
</ul>
</section>
<section>
<h2>Perspectives pour la suite</h2>
<ul>
<li>Comparer à d'autres méthodes</li>
<li>Poursuivre l'étude du $\alpha$-shift</li>
<li>Étendre au réseau</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<h2>Questions?</h2>
</section>
</div>
</div>
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