komplexe-geometrie.txt

=== Holomorphe Funktionen

* Eine stetig differenzierbare Funktion f : U --> C, U < C offen, ist genau
  dann holomorph, wenn

      del f/del zbar = 0.

  Dabei del/del zbar = 1/2 (del/del x + i del/del y).


=== Meromorphe Funktionen

* Meromorphe Funktionen sind nicht ganz dasselbe wie holomorphe Funktionen
  nach P^1. Etwa ist z_1/z_2 auf C^2 zwar meromorph, aber nicht wohldefiniert
  als Abbildung nach P^1 (dazu müsste man die Quelle aufblasen).

  Ist die Quelle aber eindimensional, so stimmt es doch.
  http://mathoverflow.net/a/53033/31233

* Marco schreibt: In X eine riemannsche Fläche, so sind meromorphe Funktionen
  X → C dasselbe wie holomorphe nicht lokal konstant ∞ Funktionen X → P^1.


=== Keime von Teilmengen

* Ist X ein topologischer Raum, so kann man die Garbe P mit
  P(U) = Menge aller Teilmengen von U und U|_V = U cap V definieren.

  Ein Keim einer Menge ist dann ein Keim dieser Garbe.

* Habe den Garbenmorphismus O --> P, f |-> { z | f(z) = 0 }.
  Der induziert dann natürlich auf Halmniveau eine Abbildung O_x --> P_x.
  Diese ordnet jedem Funktionskeim ihren Verschwindungsmengenkeim zu.


=== Hodge-Zerlegung (LA-Teil)

* Ein komplexer Vektorraum ist dasselbe wie ein reeller Vektorraum mit
  fast-komplexer Struktur J.

* Sei V ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum mit fast-komplexer Struktur J.
  Dann induziert J eine C-lineare Abbildung auf der Komplexifizierung
 
      V_C := V tensor_R C

  von V. Diese hat (höchstens) die Eigenwerte i und -i. Der Eigenraum zum
  Eigenwert i heißt V^(1,0), der zum Eigenwert -i heißt V^(0,1).

* Stets gilt: V_C = V^(1,0) oplus V^(0,1).

* Außerdem überführt die komplexe Konjugation die beiden Unterräume ineinander.

* v |-> 1/2 (v - i J(v)) ist der Projektor auf V^(1,0).

* Bei R^2 mit der üblichen komplexen Struktur ist span((1,-i)) der Eigenraum
  zum Eigenwert i und span((1,i)) der zum Eigenwert -i.

* Sei x_1,...,x_n eine C-Basis von V. Definiere y_i := J(x_i).
  Dann ist x_i,y_i eine R-Basis von V und eine C-Basis von V_C.

  Definiere z_i := 1/2 (x_i - i y_i). Dann z_i-bar = 1/2 (x_i + i y_i).

  Dann ist z_1,...,z_n eine C-Basis von V^(1,0) und z_1-bar,...,z_n-bar eine
  C-Basis von V^(0,1).

* Es gilt: (-2i)^m (z_1 wedge z_1-bar) wedge ... wedge (z_m wedge z_m-bar)
  = (x_1 wedge y_1) wedge ... wedge (x_m wedge y_m), für alle m <= dim_C V^(1,0).

* Nächste Schritte: d = del + del-bar, Fundamentalform, ...