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=== Derivationen
Sei B eine A-Algebra und M ein B-Modul. Dann ist eine
A-Derivation von B nach M
eine A-lineare Abbildung d : B --> M, die die Leibnizregel
d(xy) = x dy + y dx
für alle x, y in B erfüllt.
* Falls d : B --> M eine additive Abbildung ist, die die Leibnizregel erfüllt,
sind äquivalent:
1. d ist A-homogen (und damit eine Derivation).
2. d(a) = 0 für alle a aus A.
* Seien A --> B -phi-> C Ringhomos. Dann sind A-Derivationen B --> C dasselbe
wie A-Algebrenhomos B --> C[eps]/(eps^2) mit B --> C[eps]/(eps^2) -eps=0-> C
gleich phi. Die Korrespondenz geht so:
Sei d : B --> C eine A-Derivation. Dann definiere
f : B --> C[eps]/(eps^2), b |-> phi(b) + eps d(b).
Umgekehrt erhalte eine Derivation d aus einer solchen Abbildung f über die
Setzung
d(x) = eps-Anteil von f(x)
zurück. Das ist Lemma 4.5.8 auf Seite 77 von Martins Doktorarbeit
http://arxiv.org/pdf/1410.1716v1.pdf.
=== Omega^1_B/A
Omega^1_B/A ist definiert als ein B-Modul, der den Funktor Der(B,_) kodarstellt:
Modul der Differentialformen vom Grad 1 auf B über A.
Der_A(B, M) ~~ Hom_B(Omega^1_B/A, M).
Konstruktion: Omega^1_B/A ist...
a) ...der freie B-Modul zur Basis d(b), b in B, modulo Relationen
(A-Linearität und Leibnizregel).
b) ...I/I^2, wobei I = ker(B \otimes_A B --> B) (zusammenmultiplizieren).
Dabei kann man B \otimes_A B durch Multiplikation im rechten Tensorfaktor
auch als B-Modul ansehen; die Abbildung ist dann B-linear und I daher ein
B-Untermodul. So wird auch I/I^2 zu einem B-Modul.
Die universelle Derivation ist dann durch
d : B --> I/I^2, b |-> [b⊗1 - 1⊗b]
gegeben. Man kann elementar zeigen, dass I als B-Ideal von Termen der Form
(x tensor 1 - 1 tensor x), wobei x \in B, erzeugt wird: Eine Richtung ist
klar. Sei für die andere Richtung sum_i x_i y_i = 0. Dann gilt:
sum_i x_i tensor y_i = sum_i (x_i tensor y_i - 1 tensor x_i y_i) =
sum_i y_i (x_i tensor 1 - 1 tensor x_i).
=== Tangentiale Vektorfelder
* Habe: (Omega^1)^vee = Hom_B(Omega^1, B) = Der_A(B, B).
* Beispiel: (Omega^1_X)^vee = Der_C(O_X, O_X).
* Gamma(X, T_X) = Hom_{unter X und über k}(X[eps], X) = # nicht über X!
Hom_k(X[eps], X)_{vorgeschaltet mit der Inklusion X --> X[eps] ergibt sich id} =
{ phi : O_X --> O_X[eps]/(eps^2) k-Algebrenhomo | mod eps ist phi die Identität }
=== Differentiale im glatten Kontext
Das glatte/richtige Omega^1 ist das Doppeldual von Omega^1_Kähler.
Denn: Das Duale von Omega^1_Kähler sind die Derivationen, also Vektorfelder;
deren Duales sind die glatten/richtigen Differentialformen (per Definition).
Insbesondere ist also auf einer Mannigfaltigkeit Omega^1_Kähler nicht lokal
frei (als C^infty-Modul)! Das kann man auch sofort einsehen: Etwa sollte
Omega^1_Kähler auf X = R^1 ja (dx) als Basis haben. Zwar ist diese Familie noch
linear unabhängig, da ihr Bild unter Omega^1_Kähler --> (Omega^1_Kähler)^^ =
Omega^1_echt linear unabhängig ist, aber sie ist kein Erzeugendensystem. Dazu
müsste man
df = f'(x) dx in Omega^1_Kähler
nachweisen können, aber das kann man nicht.
http://math.ucr.edu/home/baez/week287.html
http://ncatlab.org/nlab/show/K%C3%A4hler+differential
=== Übergangsabbildungen für die Tangentialgarbe
Sei X eine Mannigfaltigkeit. Sei (phi_i : U_i --> V_i) ein Atlas, V_i Teilmenge
vom R^n.
Dann kann man TX als Vektorbündel bezüglich der Übergangsabbildungen
J(phi_j . phi_i^(-1))(__)
(oder deren Inverses, egal) realisieren, also als die Jacobimatrix des
Kartenwechsels. Quelle: Wikipedia
Somit lässt sich Omega^n über folgende Übergangsabbildungen darstellen:
1 / det J(phi_j . phi_i^(-1)) = det J(phi_i . phi_j^(-1)).
=== Beispiel: P^1
Auf P^1 gilt Omega ~~ O(-2), denn die lokalen Schnitte von Omega(2),
auf D(T_0): T_0^2 \otimes d(T_1/T_0)
auf D(T_1): -T_1^1 \otimes d(T_0/T_1)
verkleben zu einem globalen Schnitt. Siehe Liu.
== Beispiel: Spec k[X,Y]/(f(X,Y))
Sei das Jacobikriterium erfüllt.
Auf D(del_x F) ist Omega^1 durch O_X<dy / del_x F> gegeben,
auf D(del_y F) ist Omega^1 durch O_X<dx / del_y F> gegeben.
Habe Relation del_x F dx + del_y F dy = 0.
Übergangsabbildung: T_xy = -1.
Kann aber auch als Übergangsabbildung T_xy = 1 erhalten. Dazu nehme als
Basiselement nicht dx / del_y F, sondern -dx / del_y F.
Omega^1 ist isomorph zu O_X, vermöge
p dx + q dy |--> p del_y F - del_x F q.
Der Iso in die Rückrichtung ist gegeben durch
h |--> falls del_x F invertierbar: -h / del_x F dy,
falls del_y F invertierbar: h / del_y F dx.
=== Beispiel: Unterschema durch reguläre Sequenz
Sei (f_1,...,f_r) eine reguläre Sequenz in A. Sei I = (f_1,...,f_r) das
Verschwindungsideal in A. Dann ist I/I^2 (= Omega?!) frei vom Rang r:
Die Erzeuger sind die Klassen der f_i.
Linear unabhängig sind sie wegen der Regularität.
=== Beispiel: Unterschema durch eine Gleichung im projektiven Raum
Sei X = V(f) ein glattes Unterschema in P^n. Sei deg(f) = d. Dann gibt es eine
exakte Sequenz
0 --> O_X(-d) --> i^* Omega_{P^n} --> Omega_X --> 0.
g |-> d(f g)
(Bemerkung: Die Idealgarbe zu X ist O(-d).)
=== Zusammenhang mit der Diagonale
Laut Liu (Kap. 6.1.2, Seite 216): Die Diagonale Delta : X --> X x_Y X
ist lokal eine abgeschlossene Immersion, daher ist Delta(X) abgeschlossen in
einer gewissen offenen Menge U. Sei I der Kern von Delta^# auf U.
Dann ist Omega^1_{X/Y} ~~ Delta^*(I/I^2).
Siehe auch: http://mathoverflow.net/questions/54593/diagonal-map-and-infinitesimal-points
Wie ist das universelle Differential gegeben?
=== Fasern
Liu sagt (Ex. 6.2.5): Wenn X --> S v.e.T., x \in X_s abgeschlossen, k(x)|k(s)
separabel, dann: Omega^1_{X/S}|_x = T_{X_s,x}^.
=== Pullback
Kommentar von Mike Lowrey auf
http://mathoverflow.net/questions/116993/hilbert-polynomial-of-x-times-p1:
(ca.) K_{X x P^1} = K_X tensor pi^* K_{P^1}.
=== Nächste Schritte
* P^1-Beispiel verstehen. Hat es auch eine anschauliche Bedeutung?
* Zusammenhang mit Diagonale anschaulich verstehen.
* Siehe auch: http://therisingsea.org/notes/Section2.8-Differentials.pdf
* Siehe auch: http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXLAG.pdf
Hat Kapitel über algebraische Differentialrechnung.
* Verstehen, wie die Orientierungsgarbe mit den Top-Differentialformen
zusammenhängt:
http://mathoverflow.net/questions/10966/two-kinds-of-orientability-orientation-for-a-differentiable-manifold/10968#10968
Laut einer Wikipedia-Spekulation so:
Omega^n \ {0} modulo Wirkung von R^+ ist die Orientierungsgarbe.
* Verstehen, inwieweit I/I^2 im Beispiel der regulären Sequenz Omega ist.