aufblasung.txt

=== Grundlagen

* Sei Z ein abgeschlossenes Unterschema von X mit Idealgarbe J.
  Dann ist die Aufblasung von X in Z definiert als:

      Bl_Z(X) = RelProj_X oplus_n J^n --> X.

  Der exzeptionelle Divisor E ist das Urbild von Z unter dieser Abbildung.
  Er ist stets ein effektiver Cartier-Divisor in Bl_Z(X), und die kanonische
  Garbe O(-1) ist gleich O(E).

  Falls J von endlichem Typ ist, ist Bl_Z(X) --> X ein projektiver Morphismus.

* Auf X \ Z = D(J) gilt J = (1), also 

      Bl_Z(X) = RelProj_X Sym(O_X) = X auf X \ Z.

  Genauer ist die Einschränkung der kanonischen Abbildung Bl_Z(X) --> X
  auf X \ Z ein Iso.

* Falls J lokal durch eine reguläre Gleichung gegeben ist, gilt

      Bl_Z(X) = X.

  Denn lokal kann man dann Isomorphismen

      Sym^n O_X = O_X --> J^n = (s^n),  f |-> f s^n

  angeben. Diese Isomorphismen hängen von der Wahl des Erzeugers s von J ab,
  aber der Iso Proj(oplus_n J^n) --> pt sollte davon unabhängig sein. Um das
  formal zu machen, bräuchte Theorie der internen Spektra, internen Schemata
  und internen projektiven Räume.

* Tatsächlich ist Bl_Z(X) --> X die universelle (terminale) Art und Weise,
  aus Z einen effektiven Cartier-Divisor zu machen.

* Eine Warnung: Die Inklusion J --> O_X induziert eine nicht unbedingt
  injektive Abbildung f^*(J) --> O_Y. Ihr Bild ist das von f^(-1)(J)
  erzeugte Ideal in O_Y. Aber f^*(J) ist das im Allgemeinen nicht.

* f^{-1}(J^n) * O_Y = oplus_{k=0}^infty J^{k+n} = O(n).
  Schreibt http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf auf Seite 48.
  Außerdem Rf_* O(n) = J^n.

* Das steht alles in http://stacks.math.columbia.edu/tag/01OF.


=== Beziehung zur Konormalgarbe

Die Garbe J/J^2 hat Träger auf Z. Also verliert man keine Information, wenn man
auf Z zurückzieht; das ergibt die Konormalgarbe N = i^*(J/J^2), i : Z --> X.

Dann gilt: Die Einschränkung von Bl_Z(X) --> X auf Z ist isomorph zu

    Proj Sym N --> Z.

Dieses Resultat benötigt die Voraussetzung, dass Z in X regulär eingebettet
ist, also lokal durch eine reguläre Sequenz von Gleichungen gegeben werden
kann. Denn zunächst erhält man, dass die gefragte Einschränkung gleich

    Proj_X(oplus_n J^n) times_X Z
      = Proj_Z(oplus_n J^n tensor_{O_X} O_X/J)
      = Proj_Z(oplus_n J^n/J^(n+1))

ist. Unter der Voraussetzung ist dann die kanonische Surjektion

    Sym_{O_X/J}(J/J^2) --> oplus_n J^n/J^(n+1)

ein Iso. Unter dieser Voraussetzung ist übrigens N auch lokal frei, sodass
Proj Sym N die Projektivierung des (dann existenten) Normalenbündels ist.

Außerdem weiß man: O(1) auf dem exzeptionellen Divisor ist die Konormalgarbe
der Einbettung des exzeptionellen Divisors in die Aufblasung.

Das steht zum Beispiel in http://stacks.math.columbia.edu/tag/063H und
in Manins /Lectures on the K-functor in algebraic geometry/, Lemma 12.3.


=== Kohomologische Struktur der Aufblasung

* Sei q : X' --> X die Aufblasung einer Fläche in einem Punkt.
  Dann gilt:

      omega_X' = q^*(omega_X) tensor O(E),

  wobei E in X' den exzeptionellen Divisor bezeichnet (Huybrechts 12.1).


=== Höhere direkte Bilder

Ist f : X' --> X die Aufblasung längs einer glatten Untervarietät, so ist
R^i f_* O_X' = 0 für alle i >= 1.
http://rigtriv.wordpress.com/2009/02/18/direct-image-sheaves-under-proper-maps/


=== Konkrete Beispiele

* http://math.stackexchange.com/questions/193681/what-is-a-blow-up

* Sei Z = V(x,y) in X = A^2. Dann kann man die Fasern der Aufblasung
  explizit ausrechnen:

  1. (x,y)^n tensor_{k[x,y]} k(p) = k(p) für p != Ursprung.
     (Wie genau zeigt man das?)

  2. (x,y)^n tensor_{k[x,y]} k(p) = k[u,v]_n für p = Ursprung.
     Der Iso sieht so aus:
     
        sum_i f_i x^i y^(n-i) tensor [g] |--> g(0,0) * sum_i f_i(0,0) u^i v^(n-i).

* Explizites Modell der Aufblasung von A^n in einem Punkt: Es ist
  P_{k[x_1,...,x_n]}^(n-1)/(x_i y_j - x_j y_i). Siehe eine Mail an Martin Baur:

  Du hattest doch die Aufgabe, zu beweisen, dass der Kern des graduierten
  A-Algebrenhomos

      A[y_1,...,y_n] ----->> bigoplus_d J^d,
      y_i |-> x_i in J^1

  wobei A = k[x_1,...,x_n] und J = (x_1,....,x_n) subseteq A, genau das
  homogene Ideal

      (x_i y_j - x_i y_i)_ij

  ist, oder? Ich wünschte, ich hätte dir damals folgenden Tipp geben
  können -- damals war ich damit aber noch nicht richtig vertraut: Mit der
  sog. Koszul-Auflösung des Ideals J (als A-Modul) ist das eine
  vergleichbar kurze Rechnung.

  Sei etwa f ein homogenes Element vom Grad 1 im Kern. Dann sieht f so
  aus: f = sum_i g_i y_i, wobei die g_i irgendwelche (nicht unbedingt
  homogenen) Polynome aus A sind. Die Kernvoraussetzung ist
  gleichbedeutend damit, dass sum_i g_i x_i = 0 in A.

  Mit Hilfe der ersten Terme der Koszul-Auflösung kann man allgemein
  Folgendes zeigen:

      Sind g_1,...,g_n Polynome in A mit sum_i g_i x_i = 0 in A,
      so gibt es Polynom c_ij in A mit

          g_l = sum_{l < j} -c_lj x_j + sum_{i < l} c_il x_i.

  Daraus folgt dann durch einfaches Summieren, dass

      f = sum_i g_i y_i = sum_{a < b} c_ab (x_a y_b - x_b y_a),

  also die Behauptung, dass f in dem von ... erzeugten Ideal liegt.

  Ist der Grad von f größer als 1, benötigt man die weiteren Terme der
  Auflösung. (Vermutlich -- das habe ich nicht bis zum Ende
  durchgerechnet.)


=== Aufblasung als Mikroskop

Sei f eine Funktion auf X. Sei x0 in X. Sei eps : X' --> X die Aufblasung von X in x0.

Dan ist eps^#(f) eine Funktion auf X'.

df(x0) ist ein Element von Omega^1_X|_x0 = (T_x0 X)^.

Der exzeptionelle Divisor E ist isomorph zu P(N_x0 X) = P(T_x0 X).

Also: Ist [v] in E, so ist "df(x0)v = 0" eine wohldefinierte Bedingung.
(df(x0)v selbst ist nur bis auf Einheiten bestimmt.)

df(x0) ist ein Schnitt von O(1) auf E, denn

    E = P(T_x0 X) = Proj Sym (T_x0 X)^ = Proj Sym Omega^1_X|_x0,

also Gamma(E, O(1)) = Omega^1_X|_x0.

Durch Vordrücken erhält man: df(x0) ist ein Schnitt von i_* N_{E|X'}^
(das ist kein Geradenbündel). (Dabei i : E --> X'.)

Somit ist V(eps^#(f)) cap V(df(x0)) <= X' wohldefiniert.

Hier ein anschauliches Beispiel: Betrachte in P^2 die typische Kurve V(f) mit
einem Doppelpunkt. Dann ist V(eps^#(f)) cap V(df(x0)) die strikt transformierte
von V(f): Denn df(x0)v ist für genau zwei verschiedene Richtungen [v] Null.
Anzahl Tangenten = Anzahl Schnittpunkte mit dem exzeptionellen Divisor in der
Aufblasung.


=== Auflösung einer Kurve ist nicht ihre Aufblasung

Eine triviale Bemerkung: Bläst man eine singuläre Kurve in einem ihrer
singulären Punkte auf, erhält man genau dieselbe Kurve. Denn ein Punkt hat ja
in einer Kurve schon Kodimension 1.


=== Literatur

* http://www.math.ntu.edu.tw/~jkchen/F03AS/F03ASL9.pdf