| title | description | date |
|---|---|---|
陶哲轩实分析 |
明月出天山, 苍茫云海间. 长风几万里, 吹度玉门关. |
2023-07-25 |
因为实分析所包含的内容非常广泛,
所以不应该强迫学生去记忆定义和定理.
因此, 我不建议采取闭卷考试,
也不建议采取那种通过对书本内容进行反刍式的压缩而做的考试.
(事实上, 在考试中, 我会为学生提供一张附页,
这张附页会列出与本次考试内容相关的关键性定义和定理.)
相较于: 普林斯顿数学分析读本, (陶) 涵盖范围更广, 以具体问题为例, 反问引起思考, 为啥需要分析? 一起手, 便是大师风范~ 然后一气呵成! (普) 倒是包含了些拓扑的内容, 但也是蜻蜓点水. 通篇观之, 就是罗列定义, 定理, 陈述证明, 讲几个例题. 确实也算讲解的清晰易懂, 但也仅此而已. 依然会让人疑惑: 为啥需要分析?
关于实分析入门, 此书可称最佳! 没有之一~
摘记一段话如下:
我不认为我们可以通过公理和形式逻辑为算术奠定更坚实的基础.
如果你还不同意 1 + 1 = 2, 那么,
即使你耗尽毕生研究数理逻辑也不会把这弄得更清楚.
-- Scott Aaronson, 量子计算公开课
因此, 数论中每一次伟大的进步 -- 负数, 无理数,
复数甚至是数字 0 -- 都会带来大量不必要的哲理烦恼.
数可以通过公理来抽象地理解而不需要借助任何实物模型,
这是 19 世纪后期的一个伟大发现.
哈哈: 哲理 (哲学), (自寻) 烦恼
纯粹集合论
-
(正则性公理) 如果 $$ A $$ 是一个非空集合, 那么 $$ A $$ 中至少存在一个元素 $$ x $$ 满足:
- $$ x $$ 要么不是集合, 要么与 $$ A $$ 不相交.
- 这个公理 (也被称作
基础公理) 的要点在于它断定了 $$ A $$ 中至少有一个元素位于对象层级结构中非常低的层级, 以至于该元素不包含 $$ A $$ 中的其他任何元素.
-
(复合是可结合的) 设 $$ f: Z \to W
$$, $$ g: Y \to Z $$ 和 $$ h: X \to Y $$ 是三个函数, 那么 $$ f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h $$.
单射和满射在许多方面是互相对偶的.
- 一个常犯的错误是: 称一个函数
$$ f: X \to Y $$
是双射, 当且仅当 "对
$$ X $$
中任意一个
$$ x
$$, 在 $$ Y $$ 中恰好存在一个 $$ y $$ 使得 $$ y = f(x) $$".- 这种表述并不能说明 $$ f $$ 是一个双射, 更确切地说, 这仅仅表明 $$ f $$ 是一个函数.
- 函数不能把一个元素映射成两个不同的元素.
Page 49, 留待第八章 (无限集合) 的 选择公理!
两个集合具有相等的基数这一事实并不能排除其中一个集合包含另外一个集合的情况.
例如, 如果 X 是自然数集, Y 是偶数集.
- 上述九个等式有一个统称, 它们断定全体整数构成一个
交换环.- 如果我们删掉等式
$$ xy = yx $$,
那么只能断定全体整数构成一个
环.
- 如果我们删掉等式
$$ xy = yx $$,
那么只能断定全体整数构成一个
正如整数是通过两个自然数做减法来构造的,
有理数可以通过两个整数相除来构造,
当然我们必须注意分母不应该为零.
- 上述十个等式有一个统称, 它们断定有理数集
$$ Q $$
构成了一个
域.- 这比作为一个交换环更好, 因为我们得到了第十个等式 $$ x x^{-1} = x^{-1} x = 1 $$.
尽管有理数具有这种稠密性, 但是它仍然是不完备的.
在有理数之间仍然存在无穷多个"间隙"或"洞",
尽管这种稠密性确实保证了这些洞在某种意义上是无穷小的.
实数系最终会和有理数系有很多相似的地方,
但是实数系会有一些新的运算,
尤其是上确界运算, 它将被用来定义极限,
进而被用来定义微积分所需要的任何其他概念.
-
定义 (上界) 设 $$ E $$ 是 $$ R $$ 的一个子集, 并且设 $$ M $$ 是一个实数.
- 称 $$ M $$ 是 $$ E $$ 的一个上界, 当且仅当对于 $$ E $$ 中任意一个元素 $$ x $$ 都有 $$ x ≤ M $$.
-
定义 (最小上界) 设 $$ E $$ 是 $$ R $$ 的一个子集, 且 $$ M $$ 是一个实数. 称 $$ M $$ 是 $$ E $$ 的一个
最小上界, 当且仅当- (a) $$ M $$ 是 $$ E $$ 的一个上界, 同时
- (b) $$ E $$ 的任意其他上界 $$ M' $$ 一定大于或等于 $$ M $$.
-
定理 (最小上界的存在性) 设 $$ E $$ 是 $$ R $$ 的一个非空子集, 如果 $$ E $$ 有一个上界 (即 $$ E $$ 有一个上界 $$ M $$ ), 那么它必定恰好有一个最小上界.
-
定义 (上确界) 设 $$ E $$ 是实数集的一个子集, 如果 $$ E $$ 是非空的并且存在一个上界, 那么我们定义 $$ \sup(E) $$ 为 $$ E $$ 的最小上界. 我们引入两个额外的符号 $$ +∞ $$ 和 $$ -∞ $$.
- 如果 $$ E $$ 是非空的并且没有上界, 那么我们令 $$ \sup(E) := +∞ $$;
- 如果 $$ E $$ 是空集, 我们令 $$ \sup(E) := -∞ $$.
- 称
$$ \sup(E) $$
是
$$ E $$
的
上确界, 也记作 $$ \sup \mbox{ } E $$.
柯西序列
-
命题 (单调有界序列收敛) 设 $$ (a_n){n = m}^{\infty} $$ 是一个实数序列, 它存在一个有限的上界 $$ M \in R $$, 并且它还是单调递增的 (即对所有的 $$ n ≥ m $$, 均有 $$ a{n + 1} ≥ a_n $$ ). 那么 $$ (a_n)_{n = m}^{\infty} $$ 是收敛的, 并且实际上
- $$ \lim_{n \to \infty} a_n = \sup(a_n)_{n = m}^{\infty} ≤ M $$
-
推论 (夹逼定理) 设 $$ (a_n){n = m}^{\infty} $$, $$ (b_n){n = m}^{\infty} $$ 和 $$ (c_n)_{n = m}^{\infty} $$ 都是实数序列, 并且它们满足对所有的 $$ n ≥ m $$ 均有 $$ a_n ≤ b_n ≤ c_n $$
- 如果
$$ (a_n){n = m}^{\infty} $$
和
$$ (c_n){n = m}^{\infty} $$
收敛于同一个极限
$$ L
$$, 那么 $$ (b_n)_{n = m}^{\infty} $$ 也收敛于 $$ L $$.
- 如果
$$ (a_n){n = m}^{\infty} $$
和
$$ (c_n){n = m}^{\infty} $$
收敛于同一个极限
$$ L
-
推论 (序列的零判别法) 设 $$ (a_n){n = m}^{\infty} $$ 是一个实数序列, 那么极限 $$ \lim{n \to \infty} a_n $$ 存在且等于 $$ 0
$$, 当且仅当极限 $$ \lim_{n \to \infty} \mid a_n \mid $$ 存在且等于 $$ 0 $$. -
定理 (实数的完备性) 实数序列 $$ (a_n)_{n = 1}^{\infty} $$ 是柯西序列, 当且仅当它是收敛的.
用度量空间的语言来说, 上述定理断定了实数集是一个完备的度量空间,
即实数集不像有理数集那样包含 "洞".
当然, 有理数上有大量柯西序列并不收敛于任何有理数.
这种性质与最小上界的性质密切相关. 而且在分析理论研究方面
(取极限, 求导数和积分, 找函数的零点以及其他类似的运算),
完备性是实数优于有理数的基本特征之一.
-
推论 (零判别法) 设 $$ \sum_{n = m}^{\infty} a_n $$ 是一个收敛的实数级数, 那么我们一定有 $$ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $$.
- 换言之, 如果 $$ \lim_{n \to \infty} a_n $$ 不为零或者是发散的, 那么级数 $$ \sum_{n = m}^{\infty} a_n $$ 是发散的.
-
定义 (绝对收敛) 设 $$ \sum_{n = m}^{\infty} a_n $$ 是一个实数的形式级数, 我们称这个级数是
绝对收敛的, 当且仅当级数 $$ \sum_{n = m}^{\infty} | a_n | $$ 是收敛的.- 为了区分收敛和绝对收敛, 有时我们把收敛称作
条件收敛.
- 为了区分收敛和绝对收敛, 有时我们把收敛称作
-
命题 (交错级数判别法) 设 $$ (a_n){n = m}^{\infty} $$ 是一个非负的且递减的实数序列, 于是对任意的 $$ n ≥ m $$ 均有 $$ a_n ≥ 0 $$ 和 $$ a_n ≥ a{n + 1} $$.
- 那么级数 $$ \sum_{n = m}^{\infty} (-1)^{n} a_n $$ 是收敛的, 当且仅当 $$ n \to \infty $$ 时序列 $$ (a_n)_{n = m}^{\infty} $$ 收敛于 $$ 0 $$.
-
推论 (比较判别法) 设 $$ \sum_{n = m}^{\infty} a_n $$ 和 $$ \sum_{n = m}^{\infty} b_n $$ 都是实数的形式级数, 并且对任意的 $$ n ≥ m $$ 均有 $$ | a_n | ≤ b_n
$$. 所以, 如果 $$ \sum_{n = m}^{\infty} b_n $$ 是收敛的, 那么 $$ \sum_{n = m}^{\infty} a_n $$ 是绝对收敛的, 而且实际上- $$ | \sum_{n = m}^{\infty} a_n | ≤ \sum_{n = m}^{\infty} | a_n | ≤ \sum_{n = m}^{\infty} b_n $$
-
引理 (几何级数) 设 $$ x $$ 是实数, 如果 $$ | x | ≥ 1
$$, 那么级数 $$ \sum_{n = 0}^{\infty} x^n $$ 是发散的. 但如果 $$ | x | < 1 $$, 那么这个级数是绝对收敛的, 并且- $$ \sum_{n = 0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1 - x} $$
-
命题 (柯西准则) 设 $$ (a_n){n = 1}^{\infty} $$ 是一个递减的非负实数序列 (于是对所有的 $$ n ≥ 1 $$, 均有 $$ a_n ≥ 0 $$ 和 $$ a{n + 1} ≤ a_n $$ ). 那么级数 $$ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n $$ 是收敛的, 当且仅当级数 $$ \sum_{k = 0}^{\infty} 2^k a_{2^k} = a_1 + 2 a_2 + 4 a_4 + 8 a_8 + ... $$ 是收敛的.
- 注 该准则有一个有趣的特点是, 它仅仅用了序列 $$ (a_n)_{n = 1}^{\infty} $$ 中一小部分项 (即那些指标 $$ n $$ 为 $$ 2 $$ 的方幂 $$ n = 2^k $$ 的项) 就判定了整个级数是否收敛.
-
推论 设 $$ q > 0 $$ 是一个有理数, 那么当 $$ q > 1 $$ 时, 级数 $$ \sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^q $$ 是收敛的; 当 $$ q ≤ 1 $$ 时, 该级数是发散的.
-
特别地, 如前文所述, 级数 $$ \sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n $$ (也被称作
调和级数) 是发散的, 但级数 $$ \sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^2 $$ 是收敛的.- 注 当
$$ \sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^q $$
收敛时, 它的和记作
$$ ζ(q)
$$, 并被称为 $$ q $$ 的黎曼-西塔函数. - 这个函数在数论中非常重要, 特别是在素数分布的研究中尤为重要.
- 关于这个函数, 有一个非常著名的未解难题叫作黎曼假设, 但对这个问题的进一步讨论远远超出了本书的范围.
- 注 当
$$ \sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^q $$
收敛时, 它的和记作
$$ ζ(q)
当一个级数绝对收敛时, 对它进行重排列是安全的;
而当级数不绝对收敛时, 对它进行重排列就存在一定的危险.
这并不是说, 对一个不绝对收敛的级数进行重排列就必然给出错误的结果.
例如, 在理论物理学中, 人们经常采用类似的策略但最后仍然常常得到一个正确的结果.
- 推论 (比值判别法) 设
$$ \sum_{n = m}^{\infty} a_n $$
是一个所有项都不为零的级数 (不为零的假设是为了保证下文中的比值
$$ | a_{n + 1} | / | a_n | $$
是有意义的).
- 如果
$$
\lim \sup_{n \to \infty}
\frac{| a_{n + 1} |}{| a_n |} < 1
$$, 那么级数 $$ \sum_{n = m}^{\infty} a_n $$ 是绝对收敛的 (从而是条件收敛的). - 如果
$$
\lim \inf_{n \to \infty}
\frac{| a_{n + 1} |}{| a_n |} > 1
$$, 那么级数 $$ \sum_{n = m}^{\infty} a_n $$ 不是条件收敛的 (从而不可能是绝对收敛的). - 在其余情况下, 我们无法给出任何结论.
- 如果
$$
\lim \sup_{n \to \infty}
\frac{| a_{n + 1} |}{| a_n |} < 1
-
命题 (良序原理) 设 $$ X $$ 是自然数集 $$ N $$ 的一个非空子集, 那么恰好存在一个元素 $$ n \in X
$$, 使得对所有的 $$ m \in X $$ 都有 $$ n ≤ m $$.- 换言之, 任意一个元素为自然数的非空集合都有一个最小元素.
-
推论 如果 $$ X $$ 和 $$ Y $$ 都是可数集, 那么 $$ X \times Y $$ 也是可数集.
-
推论 有理数集 $$ Q $$ 是可数集.
-
注 因为有理数集是可数集, 所以从原则上来说可以把有理数集排成一个序列:
- $$ Q = { a_0, a_1, a_2, a_3, ... } $$
- 其中, 序列中的每一项与其他任意一项都不相等, 并且该序列穷尽了 $$ Q $$ 中的所有元素 (即每一个有理数都成为序列中的某一项 $$ a_n $$).
- 但是尝试真正地找到这样一个具体序列
$$ a_0
$$, $$ a_1 $$, ... 是非常困难的 (尽管这是有可能的).
只要整个级数的和是绝对收敛的, 我们就可以交换无限和的次序.
- 定理 设 $$ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n $$ 是一个条件收敛但不绝对收敛的级数, 并设 $$ L $$ 是任意一个实数那么存在一个双射 $$ f: N \to N $$ 使得 $$ \sum_{m = 0}^{\infty} a_{f(m)} $$ 条件收敛于 $$ L $$.
人们也许会问, 是否存在某个集合使得该集合的基数严格大于自然数集的基数,
同时又严格小于实数集的基数. 连续统假设断言不存在这样的集合.
这个假设独立于集合论的其他公理; 它既不能用那些公理来证明,
也无法被那些公理否定 (除非那些公理是不一致的, 而这不太可能).
我们可以把选择公理看作分析理论中一个方便, 安全且节省劳动力的工具.
在数学的其他领域中, 特别是在集合论中, 许多问题都不是可判定的,
是否接受选择公理存在争议, 并且还受到了哲学方面的关注,
就如同在数学和逻辑学方面受到关注一样. 但在本书中, 我们不讨论这些问题.
- 选择公理的另一种表述如下. 命题 设
$$ X $$
和
$$ Y $$
是集合, 并且设关于对象
$$ x \in X $$
和对象
$$ y \in Y $$
的性质
$$ P(x, y) $$
满足:
- 对每一个 $$ x \in X $$ 都至少存在一个 $$ y \in Y $$ 使得 $$ P(x, y) $$ 为真, 那么存在一个函数 $$ f: X \to Y $$ 使得 $$ P(x, f(x)) $$ 对所有的 $$ x \in X $$ 均为真.
许多定理的确是用选择公理来证明的,
并且它们断定了具有一定性质的某个对象 x 的抽象存在,
而根本没有说明这个对象是什么以及如何来构造它.
因此, 选择公理可以推导出一些非构造性的证明, 仅阐述一个对象的存在性,
而没有真正地把这个对象具体地构造出来. 这并非选择公理独有的问题.
-
定义 (全序集) 设 $$ X $$ 是一个偏序集, 并且 $$ ≤_{X} $$ 是 $$ X $$ 上的序关系. 如果对于任意给定的 $$ y, y' \in Y
$$, 我们有 $$ y ≤_{X} y' $$ 或 $$ y' ≤_{X} y $$ (或两者皆成立), 那么 $$ X $$ 的子集 $$ Y $$ 是全序的.- 如果
$$ X $$
本身是全序的, 那么我们称
$$ X $$
是一个附加了序关系
$$ ≤_{X} $$
的
全序集(或链).
- 如果
$$ X $$
本身是全序的, 那么我们称
$$ X $$
是一个附加了序关系
$$ ≤_{X} $$
的
-
自然数集 $$ N
$$, 整数集 $$ Z$$, 有理数集 $$ Q$$, 实数集 $$ R $$ 以及广义实数集 $$ R^* $$ 附加上通常的序关系 $$ ≤ $$ 之后都是全序的. 而且全序集的任意一个子集也是全序的.- 另外, 由集合构成的整体附加上包含关系 $$ \subseteq $$ 通常不是全序的.
- 例如, 如果
$$ X $$
是集合
$$ {{ 1, 2 }, { 2 }, { 2, 3 }, { 2, 3, 4 }, { 5 }}
$$, 并把集合的包含关系 $$ \subseteq $$ 作为 $$ X $$ 上的序关系, 那么 $$ X $$ 的元素 $$ { 1, 2 } $$ 和 $$ { 2, 3 } $$ 是无法互相比较的 (即 $$ { 1, 2 } \nsubseteq { 2, 3 } $$ 且 $$ { 2, 3 } \nsubseteq { 1, 2 } $$).
-
定义 (良序集) 设 $$ X $$ 是一个偏序集, 并且设 $$ Y $$ 是 $$ X $$ 的一个全序子集.
- 如果
$$ Y $$
的每一个非空子集都有最小元素, 那么
$$ Y $$
是
良序的.
- 如果
$$ Y $$
的每一个非空子集都有最小元素, 那么
$$ Y $$
是
-
引理 (佐恩引理) 设 $$ X $$ 是一个具有如下性质的非空偏序集, 即 $$ X $$ 的每一个全序子集 $$ Y $$ 都有一个上界, 那么 $$ X $$ 至少有一个最大元素.
-
引理 $$ N $$ 的闭包是 $$ N
$$, $$ Z $$ 的闭包是 $$ Z$$, $$ Q $$ 的闭包是 $$ R$$, $$ R $$ 的闭包是 $$ R $$.- 空集 $$ \varnothing $$ 的闭包是 $$ \varnothing $$.
-
定理 (直线上的海涅-博雷尔定理) 设 $$ X $$ 是 $$ R $$ 的一个子集, 那么下面两个命题是等价的:
- (a) $$ X $$ 是闭的且有界的.
- (b) 给定任意一个在 $$ X $$ 中取值 (即对所有的 $$ n $$ 均有 $$ a_n \in X $$ ) 的实数序列 $$ (a_n){n = 0}^{\infty} $$, 存在它的一个子序列 $$ (a{n_j})_{n_j = 0}^{\infty} $$ 收敛于 $$ X $$ 中的某个数 $$ L $$.
-
函数 $$ f $$ 在点 $$ x_0 $$ 的左极限 $$ f(x_0 -) $$ 和右极限 $$ f(x_0 +) $$ 有可能同时存在但不相等. 此时, 我们称 $$ f $$ 在 $$ x_0 $$ 处有一个
跳跃间断点.- 另外, 左极限 $$ f(x_0 -) $$ 和右极限 $$ f(x_0 +) $$ 也有可能同时存在且相等, 但都不等于 $$ f(x_0) $$.
- 此时, 我们称
$$ f $$
在
$$ x_0 $$
处有一个
可去间断点(或可去奇点).
现在我们知道在闭区间上, 每一个连续的函数都是有界的并且至少有一次达到它的最大值,
也至少有一次达到它的最小值. 但对于开区间和无限区间而言, 上述结论就不成立了.
在复分析或偏微分方程中, 你可能会遇到相当不同的"最大值原理",
其中连续函数在复分析和偏微分方程中将分别被替换成解析函数和调和函数.
那些最大值原理与这里的并没有直接的关联
(尽管它们也涉及最大值是否存在以及在哪里达到最大值).
-
定义 (一致连续) 设 $$ X $$ 是 $$ R $$ 的一个子集, 并且设 $$ f: X \to R $$ 是一个函数. 我们称 $$ f $$ 是
一致连续的, 如果对于任意的 $$ ε > 0$$, 都存在一个 $$ δ > 0 $$ 使得只要 $$ x, x_0 \in X $$ 是 $$ X $$ 中 $$ δ-接近 $$ 的两个点, $$ f(x) $$ 和 $$ f(x_0) $$ 就是 $$ ε-接近 $$ 的. -
一致连续和连续之间的区别在于, 在一致连续中我们可以取到单独一个 $$ δ $$ 使得这个 $$ δ $$ 对所有的 $$ x_0 \in X $$ 均适用; 而对于一般的连续, 不同的 $$ x_0 \in X $$ 可能使用了不同的 $$ δ $$.
- 因此, 每一个一致连续的函数都是连续的, 反之不成立.
-
引理 设 $$ (a_n){n = 1}^{\infty} $$ 和 $$ (b_n){n = 1}^{\infty} $$ 都是实数序列 (不必是有界的或收敛的), 那么 $$ (a_n){n = 1}^{\infty} $$ 和 $$ (b_n){n = 1}^{\infty} $$ 是等价的当且仅当 $$ \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = 0 $$.
-
同时, 一致连续的概念可以用等价序列来描述.
-
命题 设 $$ X $$ 是 $$ R $$ 的一个子集, 并且设 $$ f: X \to R $$ 是一个函数, 那么下述两个命题在逻辑上是等价的:
- (a) $$ f $$ 在 $$ X $$ 上是一致连续的.
- (b) 如果 $$ (x_n){n = 0}^{\infty} $$ 和 $$ (y_n){n = 0}^{\infty} $$ 是由 $$ X $$ 中元素构成的两个等价序列, 那么序列 $$ (f(x_n)){n = 0}^{\infty} $$ 和 $$ (f(y_n)){n = 0}^{\infty} $$ 也是等价的.
-
命题 设 $$ X $$ 是 $$ R $$ 的一个子集, $$ f: X \to R $$ 是一致连续的函数, 并且设 $$ (x_n){n = 0}^{\infty} $$ 是完全由 $$ X $$ 中的元素构成的柯西序列, 那么 $$ (f(x_n)){n = 0}^{\infty} $$ 也是一个柯西序列.
-
命题 设 $$ X $$ 是 $$ R $$ 的一个子集, 并且设 $$ f: X \to R $$ 是一致连续的函数. 如果 $$ E $$ 是 $$ X $$ 的一个有界子集, 那么 $$ f(E) $$ 也是有界的.
就像我们刚才反复看到的那样, 并非所有的连续函数都是一致连续的.
但是, 如果函数的定义域是一个闭区间, 那么连续函数实际上就是一致连续函数.
- 定理 设 $$ a < b $$ 都是实数, 并且设 $$ f: [a, b] \to R $$ 是 $$ [a, b] $$ 上的连续函数, 那么 $$ f $$ 也是一致连续的.
-
推论 (中值定理) 设 $$ a < b $$ 都是实数, 设 $$ f: [a, b] \to R $$ 是一个在 $$ [a, b] $$ 上连续并且在 $$ (a, b) $$ 上可微的函数, 那么存在一个 $$ x \in (a, b) $$ 使得 $$ f'(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$.
-
定理 (反函数定理) 设 $$ f: X \to Y $$ 是一个可逆函数, 它的反函数是 $$ f^{-1}: Y \to X
$$, 设 $$ x_0 \in X $$ 和 $$ y_0 \in Y $$ 使得 $$ f(x_0) = y_0$$. 如果 $$ f $$ 在 $$ x_0 $$ 处是可微的, $$ f^{-1} $$ 在 $$ y_0 $$ 处是连续的, 并且 $$ f'(x_0) ≠ 0$$, 那么 $$ f^{-1} $$ 在 $$ y_0 $$ 处可微, 并且有- $$ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} $$
- 通俗地说, 这个命题给出了
- $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
- 当然, 在使用
洛必达法则之前, 我们必须保证该命题的所有条件都成立. - 特别是 $$ f(a) = g(a) = 0 $$ 以及右侧的极限存在.
-
定义 (公共加细) 设 $$ I $$ 是一个有界区间, 并且设 $$ P $$ 和 $$ P' $$ 是 $$ I $$ 的两个划分, 我们定义 $$ P $$ 和 $$ P' $$ 的
公共加细$$ P # P' $$ 为集合- $$ P # P' := { K \cap J: K \in P 且 J \in P' } $$
-
引理 设 $$ I $$ 是一个有界区间, 并且设 $$ P $$ 和 $$ P' $$ 是 $$ I $$ 的两个划分, 那么 $$ P # P' $$ 也是 $$ I $$ 的一个划分, 并且它既比 $$ P $$ 更细, 也比 $$ P' $$ 更细.
-
定义 (黎曼积分) 设 $$ f: I \to R $$ 是定义在有界区间 $$ I $$ 上的有界函数, 如果 $$ \underline{\int}_I f = \overline{\int}_I f
$$, 那么我们称 $$ f $$ 在 $$ I $$ 上是黎曼可积的并定义- $$ \int_I f = \underline{\int}_I f = \overline{\int}_I f $$
- 如果上黎曼积分和下黎曼积分不相等, 那么我们称 $$ f $$ 不是黎曼可积的.
-
定理 设 $$ I $$ 是一个有界区间, 并且设 $$ f $$ 是定义在 $$ I $$ 上的一致连续函数, 那么 $$ f $$ 是黎曼可积的.
-
推论 设 $$ [a, b] $$ 是一个闭区间, 并且设 $$ f: [a, b] \to R $$ 是连续的, 那么 $$ f $$ 是黎曼可积的.
-
命题 设 $$ I $$ 是一个有界区间, 并且设 $$ f: I \to R $$ 是一个连续且有界的函数, 那么 $$ f $$ 在 $$ I $$ 上是黎曼可积的.
-
命题 设 $$ I $$ 是一个有界区间, 并且设 $$ f: I \to R $$ 既是分段连续的又是有界的, 那么 $$ f $$ 是黎曼可积的.
-
命题 设 $$ [a, b] $$ 是一个有界闭区间, 并且设 $$ f: [a, b] \to R $$ 是单调函数, 那么 $$ f $$ 在 $$ [a, b] $$ 上是黎曼可积的.
-
推论 设 $$ I $$ 是一个有界区间, 并且设 $$ f: I \to R $$ 既是单调的又是有界的, 那么 $$ f $$ 在 $$ I $$ 上是黎曼可积的.
-
定理 (微积分第一基本定理) 设 $$ a < b $$ 都是实数, $$ f: [a, b] \to R $$ 是黎曼可积的函数, 并且设 $$ F: [a, b] \to R $$ 是函数
- $$ F(x) := \int_{[a, x]} f $$
- 那么 $$ F $$ 是连续的.
- 另外, 如果 $$ x_0 \in [a, b] $$ 并且 $$ f $$ 在 $$ x_0 $$ 处连续, 那么 $$ F $$ 在 $$ x_0 $$ 处可微并且 $$ F' (x_0) = f(x_0) $$.
-
定理 (微积分第二基本定理) 设 $$ a < b $$ 是实数, 并且设 $$ f: [a, b] \to R $$ 是一个黎曼可积的函数. 如果 $$ F: [a, b] \to R $$ 是 $$ f $$ 的原函数, 那么
- $$ \int_{[a, b]} f = F(b) - F(a) $$
第一部分结束; 第二部分开始!
从数学角度来说, 空间和集合之间没有太大的区别, 但与随机的集合相比,
空间会包含更多的结构. 例如, 实数空间包含了像加法, 乘法这样的运算,
但普通的集合就没有这些运算. 实际上, 存在两种非常有用的空间.
第一种是我们将要研究的度量空间; 而另一种是更一般的拓扑空间.
粗略地说, 度量空间就是任意一个包含了距离 d(x, y) 的空间 X,
并且这个距离还应当满足某些合理的性质.
- 定义 (度量空间)
度量空间$$ (X, d) $$ 是一个空间 $$ X $$ ($$ X $$ 中的元素被称作点), 而且 $$ X $$ 还包含了一个距离函数或者度量$$ d: X \times X \to [0, + \infty)$$, 它把 $$ X $$ 中的每对点 $$ (x, y) $$ 对应到一个非负实数 $$ d(x, y) ≥ 0 $$ 上. 此外, 这个度量还必须满足下面四个公理:- (a) 对任意的
$$ x \in X
$$, 我们有 $$ d(x, x) = 0 $$. - (b) (正性) 对任意两个不同的
$$ x, y \in X
$$, 我们有 $$ d(x, y) > 0 $$. - (c) (对称性) 对任意的
$$ x, y \in X
$$, 我们有 $$ d(x, y) = d(y, x) $$. - (d) (三角不等式) 对任意的
$$ x, y, z \in X
$$, 我们有 $$ d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) $$. - 在很多情况下, 我们能清楚地知道度量 $$ d $$ 是什么, 从而可以把 $$ (X, d) $$ 简写成 $$ X $$.
- (a) 对任意的
$$ x \in X