NumTrees.java

package com.haobin.leetcode.dp;

/**
 * @Author HaoBin
 * @Create 2020/2/17 15:18
 * @Description: 不同组合的二叉搜索树
 *
 * 给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
 *
 * 示例:
 *
 * 输入: 3
 * 输出: 5
 * 解释:
 * 给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:
 *
 *    1         3     3      2      1
 *     \       /     /      / \      \
 *      3     2     1      1   3      2
 *     /     /       \                 \
 *    2     1         2                 3
 *
 **/
public class NumTrees {


    /**
     * 假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)，令f(i)为以i为根的二叉搜索树的个数，则
     * G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n)
     *
     * 当i为根节点时，其左子树节点个数为i-1个，右子树节点为n-i，则
     * f(i) = G(i-1)*G(n-i)
     *
     * 综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式
     * G(n) = G(0)*G(n-1)+G(1)*(n-2)+...+G(n-1)*G(0)
     *
     */
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i < n + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < i + 1; j++) {
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}