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title: "Simulaciones SVD"
date: "Septiembre de 2020"
output:
html_document:
theme: cosmo
lang: es
---
```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```
## Coeficiente de variación
El peso de los primeros singular values depende del coeficiente de variación de las columnas (la relación entre desvío y media).
```{r }
set.seed(55)
n = 10
columnas = replicate(n=4, rnorm(n, 200, 50))
mat = columnas
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
```
En los dos siguientes escenarios se aumenta el coeficiente de variación (CV) y el primer singular value sube. En ambos escenarios el CV es el mismo
```{r }
set.seed(55)
columnas = replicate(n=4, rnorm(n, 200, 1))
mat = columnas
svd_obj = svd(mat)
cat("CV = ", 200/1,"\n")
cat(svd_obj$d / sum(svd_obj$d))
```
```{r }
set.seed(55)
columnas = replicate(n=4, rnorm(n, 10000, 50))
mat = columnas
svd_obj = svd(mat)
cat("CV = ", 10000/50, "\n")
cat(svd_obj$d / sum(svd_obj$d))
```
La conclusión es que reescalar toda la matriz por una constante (por ejemplo, multiplicar todo por 1000) no altera los resultados. Por ejemplo:
```{r }
set.seed(55)
columnas = replicate(n=4, rnorm(n, 200, 1)) * 1000
mat = columnas
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
```
Si sube el CV, el peso de los primeros singular values cae; es más difícil reconstruir la matriz original con la misma cantidad de singular values/vectors.
```{r }
set.seed(55)
columnas = replicate(n=4, rnorm(n, 200, 50))
mat = columnas
svd_obj = svd(mat)
cat("CV = ", 200/50, "\n")
cat(svd_obj$d / sum(svd_obj$d))
```
## Vectores de medias
```{r }
set.seed(55)
columnas = replicate(n=4, rnorm(n, 200, 50))
mat = columnas
svd_obj = svd(mat)
cat(svd_obj$d / sum(svd_obj$d))
svd_obj$v
```
```{r }
set.seed(55)
columnas = replicate(n=4, rnorm(n, 200, 50))
columnas[,3:4] = columnas[,3:4] / 200
mat = columnas
# # equivalente a:
# high = replicate(n=2, rnorm(n, 200, 50))
# low = replicate(n=2, rnorm(n, 1, 0.25))
# mat = cbind(high, low)
svd_obj = svd(mat)
cat(svd_obj$d / sum(svd_obj$d))
svd_obj$v
apply(mat, 2, function(x) sd(x)/mean(x))
```
Las columnas relevantes (con valor absoluto alto en los right singular vectors asociados a singular values altos) tienen una "media relativa alta" -- es decir, son las de mayor media en relación a las otras columnas, suponiendo que los CV de todas las columnas son iguales.
Además, el peso de los primeros singular values depende de la cantidad de columnas relevantes (relevante según el valor promedio). Es decir, si se reescalan algunas columnas y se mantiene constante el CV de todas, crecerá el valor de los primeros singular values. Reescalar algunas columnas sí altera los resultados.
Esto es distinto a lo que pasa en regresión lineal o en componentes principales, donde la escala es "irrelevante" y lo que importa es la variabilidad de cada variable.
Los cambios en el CV de las columnas irrelevantes (con medias bajas) repercuten mucho menos en los resultados que los cambios en las columnas de media alta. Por ejemplo:
```{r }
set.seed(55)
high = replicate(n=2, rnorm(n, 200, 100))
low = replicate(n=2, rnorm(n, 1, 0.25))
mat = cbind(high, low)
svd_obj = svd(mat)
cat(svd_obj$d / sum(svd_obj$d))
```
```{r }
set.seed(55)
high = replicate(n=2, rnorm(n, 200, 50))
low = replicate(n=2, rnorm(n, 1, 0.5))
mat = cbind(high, low)
svd_obj = svd(mat)
cat(svd_obj$d / sum(svd_obj$d))
```
## Correlaciones
Si aumenta la correlación entre dos columnas, ceteris paribus, aumenta el peso de los primeros singular values: es más facil reconstruir la matriz original porque hay columnas que "repiten información".
```{r }
set.seed(55)
high = replicate(n=2, rnorm(n, 200, 10))
low = replicate(n=2, rnorm(n, 1, 0.25))
mat = cbind(high, low)
cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
svd_obj$v
```
```{r }
set.seed(55)
n = 10
high = replicate(n=2, rnorm(n, 200, 10))
low = replicate(n=2, rnorm(n, 1, 0.25))
high[,2] = high[,1] * -2 + runif(n)
mat = cbind(high, low)
cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
svd_obj$v
```
La correlación alta negativa/positiva entre dos columnas no sería lo mismo que valores absolutos bajos (casi cero) de una columna se correspondan con valores altos de otra, y viceversa (por ejemplo, los jugadores que tiran de 3 no tiran de 2, y lo mismo al revés). En este escenario las variables (cantidad de triples y dobles) están correlacionadas mediadas por una variable binaria latente ("tipo de tirador"), y eso no es exactamente lo mismo que correlación absoluta alta. Parecería que los valores cercanos a cero importan.
Baseline:
```{r}
set.seed(555)
n = 10
high = replicate(n=2, rnorm(n, 200, 10))
mat = cbind(high)
# low = replicate(n=2, rnorm(n, 1, 0.25))
# mat = cbind(high, low)
plot(mat)
cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
```
Escenario de correlación mediada por flag (variable latente):
```{r}
set.seed(555)
n = 10
high = replicate(n=2, rnorm(n, 200, 10))
flag = rbinom(n, 1, 0.5)
high[flag == 0, 1] = 0
high[flag == 1, 2] = 0
mat = cbind(high)
# low = replicate(n=2, rnorm(n, 1, 0.25))
# mat = cbind(high, low)
plot(mat)
cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
```
En lugar de ceros, probamos usando un valor constante pero a la misma distancia que la media del resto de las variables. En este caso la correlación entre las variables se mantiene aproximadamente igual que en el escenario de los ceros.
```{r}
set.seed(555)
n = 10
high = replicate(n=2, rnorm(n, 200, 10))
flag = rbinom(n, 1, 0.5)
high[flag == 0, 1] = 400
high[flag == 1, 2] = 400
mat = cbind(high)
# low = replicate(n=2, rnorm(n, 1, 0.25))
# mat = cbind(high, low)
plot(mat)
cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
```
No entendemos por qué el primer singular value crece tanto en relación al escenario de ceros -- SVD es la mejor aproximación según error cuadrático medio y el ECM entre 0 y 200 debería ser similar entre 200 y 400.
Probamos un ejemplo exagerado con valores constantes (0, 200 o 400). Vemos que no da lo mismo usar 0 o 400. Cuando usamos 0 el primer singular value tiene el mínimo posible para dos columnas (0.5), y cuando pasamos a 400 (que tiene la misma distancia vs 200 !!!) el singular value a pasa a 0.75.
```{r}
mat = matrix( 200, ncol=2, nrow=10)
mat[1:5, 1] = 0
mat[6:10, 2] = 0
plot(mat)
cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
svd_obj$v
# svd_obj$d[1] * svd_obj$u[,1] %*% t(svd_obj$v[,1]) # aprox rango 1
```
```{r}
mat = matrix( 200, ncol=2, nrow=10)
mat[1:5, 1] = 400
mat[6:10, 2] = 400
plot(mat)
cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
svd_obj$v
```
No queda claro qué pasa y por qué cuando se ponen constantes más alejadas de 200, como -200 y 20000 ...
```{r}
mat = matrix( 200, ncol=2, nrow=10)
mat[1:5, 1] = -200
mat[6:10, 2] = -200
cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
svd_obj$u
svd_obj$v
```
```{r}
mat = matrix( 200, ncol=2, nrow=10)
mat[1:5, 1] = 20000
mat[6:10, 2] = 20000
cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
svd_obj$d[1] * svd_obj$u[,1] %*% t(svd_obj$v[,1]) # aprox rango 1
```
TODO: agregar las 2 columnas low y volver a correr los chunks de correlaciones
Los singular values son equivalentes a la norma Frobenius de las aproximaciones (en realidad, de cada matriz que se forma por multiplicar distintas columnas de U y V con D)
Es decir, D1 es la norma Frobenius de D[1]*U[,1]%*%t(V[,1]). D2 es la Frobenius de D[2]*U[,2]%*%t(V[,2])
La norma Frobenius creo que es la extensión de la distancia Euclideana. La raiz de la suma de cada componente de la matriz al cuadrado.
```{r}
set.seed(555)
n = 10
high = replicate(n=2, rep(200,10))
flag = rbinom(n, 1, 0.5)
high[flag == 0, 1] = 0
high[flag == 1, 2] = 0
mat = cbind(high)
# low = replicate(n=2, rnorm(n, 1, 0.25))
# mat = cbind(high, low)
plot(mat)
cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
r1 = svd_obj$d[1] * svd_obj$u[,1] %*% t(svd_obj$v[,1])
norm(r1, "F")
```
En el caso donde en vez de 200 y 0, tenemos 400 y 200. La reconstrucción es poner 300 en todo en R1 y luego compensar con R2. En ese caso R1 tiene una norma mayor que llenar los 400 primero y luego los 200.
```{r}
mat = matrix(c(200,0,0,200), nrow =2, ncol = 2)
# plot(mat)
# cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
r1 = svd_obj$d[1] * svd_obj$u[,1] %*% t(svd_obj$v[,1])
norm(r1, "F")
r2 = svd_obj$d[2] * svd_obj$u[,2] %*% t(svd_obj$v[,2])
norm(r2, "F")
```
VS
```{r}
mat = matrix(c(400,200,200,400), nrow =2, ncol = 2)
# plot(mat)
# cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
r1 = svd_obj$d[1] * svd_obj$u[,1] %*% t(svd_obj$v[,1])
norm(r1, "F")
r2 = svd_obj$d[2] * svd_obj$u[,2] %*% t(svd_obj$v[,2])
norm(r2, "F")
```
Aca de nuevo juega el valor absoluto. Si hacemos el mismo ejercicio, misma distancia pero 1000 vs 800. Es todavia
mas abultada la diferencia. Porque la aproximacion pone 900 en todo y tiene norma mucho mayor que la correccion posterior de 100
```{r}
mat = matrix(c(1000,800,800,1000), nrow =2, ncol = 2)
# plot(mat)
# cor(mat)
svd_obj = svd(mat)
svd_obj$d / sum(svd_obj$d)
r1 = svd_obj$d[1] * svd_obj$u[,1] %*% t(svd_obj$v[,1])
norm(r1, "F")
r2 = svd_obj$d[2] * svd_obj$u[,2] %*% t(svd_obj$v[,2])
norm(r2, "F")
```
En el caso de 200 vs 0, es lo mismo en terminos de norma aproximar primero una columna y luego la otra que hacer el promedio y compensar. Debe ser por "azar" que aproxima primero una entera y no hace el approach de poner el promedio.
```{r}
mat = matrix(c(100,100,100,100), nrow =2, ncol = 2)
norm(mat, "F")
```