-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
main.tex
167 lines (124 loc) · 8.21 KB
/
main.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
\documentclass{article}
\input{includes.tex}
\begin{document}
\input{coverpage}%not necessary but looks fancy
% références à la fin
\section{Présentation du problème}
La méthode des éléments finis est une méthode mathématique utilisée par les industriels et les chercheurs
afin de résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles (EDP).
Une application envisageable pour les calculs avec la méthode des éléments finis est l'optimisation de l'épaisseur d'une structure tridimensionelle,
qui est l'objectif de ce projet.
La structure tridimensionnelle choisie est un pont pour lequel nous avons cherché à minimiser l'épaisseur
en respectant une contrainte de déplacement vertical maximal en son centre de $10$ cm (valeur absolue) malgré l'application d'une force surfacique
constante sur la surface horizontale supérieure du pont.
La géométrie de ce problème est tridimensionnelle et sa coupe verticale est montrée dans la Figure \ref{fig:problem}.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{imgs/coupe_2D-schema.JPG}
\caption{Schéma de la géométrie du pont. Une force surfacique $f= - 5\times10^8$ N m$^{-2}$ est appliquée sur sa surface supérieure (en 3D).
Le déplacement maximal $d$ est montré en bleu. $\Gamma_F$, en vert, est la partie de la frontière de $\Omega$ sur lequelle la force est appliquée et $\Gamma_S$ est la partie de la frontière qui est fixe.
Le système est soumis à la gravité $g$.
Le schéma n'est pas à l'échelle.}
\label{fig:problem}
\end{center}
\end{figure}
La structure est considérée comme homogène avec les extrémités inférieures fixes et une largeur $p = 0.5$ m.
Les données fournis pour ce système sont :
\begin{itemize}
\item Module d'Young : $E = 2.1 \times 10^{11}$ N m$^{-2}$
\item Coefficient de Poisson : $\nu = 0.3$
\item Masse Volumique : $\rho = 7800$ kg m$^{-3}$
\item Force surfacique imposée sur le bord supérieur : $f= - 5 \times 10^8$ N m$^{-2}$
\end{itemize}
Nous avons adopté la stratégie suivante pour traiter ce projet, en trois parties :
\begin{enumerate}
\item Établissement de la formulation variationnelle de ce problème.
\item Résolution à épaisseur fixée : nous avons écrit un programme avec le langage FreeFem++ pour résoudre le système à une épaisseur fixe $e = 0.1$ m,
avec une maille initialement bidimensionnelle et dont la dernière dimension est ajoutée avec la fonction $buildlayers$.
Nous avons étudié la différence entre des solutions calculées pour la pièce et pour sa moitié ainsi que la convergence du résultat en variant le maillage.
\item Optimisation de l'épaisseur :
\begin{enumerate}
\item Approximation graphique :
nous avons analysé la relation entre l'épaisseur et le déplacement afin de trouver un intervalle où le déplacement est inférieur ou égal à 10 cm.
\item Raffinement de la solution : nous avons utilisé la méthode de dichotomie pour résoudre le problème.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Formulation variationnelle}
\begin{problem}{1}
Mettons le problème sous forme faible (variationnelle) pour pouvoir le résoudre avec la méthode des éléments finis.
\end{problem}
\input{formulation_variationnelle.tex}
\begin{problem}{2}
Utilisons les propriétés de symétrie pour obtenir un problème sous forme variationnelle portant uniquement sur la moitié de la structure.
\end{problem}
\input{formulation_variationnelle_moitie.tex}
\section{Résolution à épaisseur fixée}
\input{epaisseur_fixe.tex}
\section{Optimisation de l'épaisseur}
Nous cherchons dans cette partie à trouver l'épaisseur minimale du pont $e$ en respectant la contrainte de déplacement vertical (de moins de $10$ cm en valeur absolue).
\subsection{Approximation graphique}
\begin{problem}{5}
Encadrons par une approche graphique l'épaisseur optimale.
\end{problem}
Pour optimiser l'épaisseur du pont,
nous avons utilisé le programme \emph{FreeFem++} codé pour la partie précédente,
qui repose sur l'équation \ref{varia} pour calculer le déplacement en fonction de l'épaisseur, avec les paramètres $n=30$ et $m=15$.
Pour tracer le déplacement vertical maximal (en valeur absolue),
nous avons fait varier l'épaisseur $e$
de $0.1$ m jusqu'à $0.3$ m, en sachant que nous sommes limités par le rayon de courbure $r = 0.35$ m.
Pour avoir suffisamment de points, nous avons choisi un incrément de $0.01$ m.
La courbe obtenue est présentée dans la Figure \ref{fig:graph}.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{imgs/ed.png}
\caption{Evolution de l'affaissement en fonction de l'épaisseur du pont. Chaque croix sur la courbe représente un résultat de simulation.}
\label{fig:graph}
\end{center}
\end{figure}
Cette courbe montre que l'épaisseur optimale se trouve entre $15$ cm et $17.5$ cm.
Cela nous donne donc un intervalle de travail pour le raffinement des solutions dans la prochaine section :
l'avantage d'avoir un intervalle plus petit permet de gagner en performances dans la recherche d'une solution précise.
\subsection{Raffinement de la solution}
\begin{problem}{6}
Estimons l'épaisseur optimale avec un algorithme de dichotomie et concluons le problème.
\end{problem}
Afin d'utiliser la méthode de dichotomie,
nous avons défini des variables $e^n_{min}$ et $e^n_{max}$ qui seront utilisées pour calculer une épaisseur moyenne $e^n$
qui donnera le déplacement $d^n$.
L'algorithme repose sur le principe itératif suivant :
\begin{itemize}
\item Si $|d^n| \le |d_0|$, on choisit $e^n_{max} = e^n$ et $e^n_{min}$ reste constant.
\item Si $|d^n| \ge |d_0|$, on choisit $e^n_{min} = e^n$ et $e^n_{max}$ reste constant.
\end{itemize}
À partir de la courbe de la figure \ref{fig:graph} générée dans la section précédente,
nous avons choisi des valeurs initiales pour $e^n_{min}$ et $e^n_{max}$ de $0.13$ m et $0.2$ m respectivement.
On pose $\varepsilon = 0.001$.
Nous avons choisi $0.001$ m afin d'avoir une précision qui nous a semblé suffisante physiquement pour le problème, étant donné le contexte, tout en
ayant un temps de calcul raisonnable.
Les calculs ont été faits dans une boucle \emph{while} avec la condition suivante :
la distance entre la valeur absolue de $d_n$ et $d$ est supérieure à $\varepsilon$ ou (la distance entre la valeur absolue de $d_n$ et $d$ est inférieure à $\varepsilon$
et la valeur absolue de $d^n$ est supérieure à $d$). La deuxième condition permet d'éviter de dépasser le déplacement maximal imposé, une fois que l'on est
suffisamment proche du déplacement recherché.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{imgs/dicho.png}
\caption{Etude de la convergence de la dichotomie}
\label{fig:dicho}
\end{center}
\end{figure}
Nous avons obtenu les valeurs (arrondies à $10^{-2}$), en quelques itérations, comme le montre la figure \ref{fig:dicho} :
\begin{center}
$d^n = - 0.10$ m \\
$e^n = 0.17$ m
\end{center}
Ainsi, pour répondre à la problématique, une épaisseur de 0.17 m (soit 17 cm) semble être un bon candidat pour respecter les contraintes de déplacement (de 10 cm vertical maximum).
Il serait intéressant d'approfondir l'incertitude que l'on a sur le résultat, étant donné le choix du maillage notamment.
%conclusion epaisseur avec incertitude
\clearpage
\appendix
\section {Code source}
\label{source_code}
Le code source du programme écrit est disponible sur \url{https://github.com/florian6973/finite-elements-project}.
On y trouve aussi l'ensemble des ressources utilisées pour la rédaction du rapport.
%\lstinputlisting[language=FreeFem]{simulation-v2.edp}
\end{document}