第十部分 因子分析（Factor analysis） 如果有一个从多个高斯混合模型（a mixture of several Gaussians）而来的数据集 $x^{(i)} \in R^n$ ，那么就可以用期望最大化算法（EM algorithm）来对这个混合模型（mixture model）进行拟合。这种情况下，对于有充足数据（sufficient data）的问题，我们通常假设可以从数据中识别出多个高斯模型结构（multiple-Gaussian structure）。例如，如果我们的训练样本集合规模（training set size） $m$ 远远大于（significantly larger than）数据的维度（dimension） $n$ ，就符合这种情况。
然后来考虑一下反过来的情况，也就是 $n$ 远远大于 $m$ ，即 $n \gg m$ 。在这样的问题中，就可能用单独一个高斯模型来对数据建模都很难，更不用说多个高斯模型的混合模型了。由于 $m$ 个数据点所张成（span）的只是一个 $n$ 维空间 $R^n$ 的低维度子空间（low-dimensional subspace），如果用高斯模型（Gaussian）对数据进行建模，然后还是用常规的最大似然估计（usual maximum likelihood estimators）来估计（estimate）平均值（mean）和方差（covariance），得到的则是：
$$
\begin{aligned}
&\mu = \frac 1m\sum_{i=1}^m x^{(i)} \\
&\Sigma = \frac 1m\sum_{i=1}^m (x^{(i)}-\mu)(x^{(i)}-\mu)^T
\end{aligned}
$$
我们会发现这里的 $\Sigma$ 是一个奇异（singular）矩阵。这也就意味着其逆矩阵 $\Sigma^{-1}$ 不存在，而 $1/|\Sigma|^{1/2} = 1/0$ 。 但这几个变量都还是需要的，要用来计算一个多元高斯分布（multivariate Gaussian distribution）的常规密度函数（usual density）。还可以用另外一种方法来讲述清楚这个难题，也就是对参数（parameters）的最大似然估计（maximum likelihood estimates）会产生一个高斯分布（Gaussian），其概率分布在由样本数据$^1$所张成的仿射空间（affine space）中，对应着一个奇异的协方差矩阵（singular covariance matrix）。
1 这是一个点集，对于某些 $\alpha_i$ ，此集合中的点 $x$ 都满足 $x = \sum_{i=1}^m \alpha_i x^{(i)}$ , 因此 $\sum_{i=1}^m \alpha_1 = 1$ 。
通常情况下，除非 $m$ 比 $n$ 大出相当多（some reasonable amount），否则最大似然估计（maximum likelihood estimates）得到的均值（mean）和方差（covariance）都会很差（quite poor）。尽管如此，我们还是希望能用已有的数据，拟合出一个合理（reasonable）的高斯模型（Gaussian model），而且还希望能识别出数据中的某些有意义的协方差结构（covariance structure）。那这可怎么办呢？
在接下来的这一部分内容里，我们首先回顾一下对 $\Sigma$ 的两个可能的约束（possible restrictions），这两个约束条件能让我们使用小规模数据来拟合 $\Sigma$ ，但都不能就我们的问题给出让人满意的解（satisfactory solution）。然后接下来我们要讨论一下高斯模型的一些特点，这些后面会用得上，具体来说也就是如何找到高斯模型的边界和条件分布。最后，我们会讲一下因子分析模型（factor analysis model），以及对应的期望最大化算法（EM algorithm）。
1 $\Sigma$ 的约束条件（Restriction） 如果我们没有充足的数据来拟合一个完整的协方差矩阵（covariance matrix），就可以对矩阵空间 $\Sigma$ 给出某些约束条件（restrictions）。例如，我们可以选择去拟合一个对角（diagonal）的协方差矩阵 $\Sigma$ 。这样，读者很容易就能验证这样的一个协方差矩阵的最大似然估计（maximum likelihood estimate）可以由对角矩阵（diagonal matrix） $\Sigma$ 满足：
$$
\Sigma_{jj} = \frac 1m \sum_{i=1}^m (x_j^{(i)}-\mu_j)^2
$$
因此，$\Sigma_{jj}$ 就是对数据中第 $j$ 个坐标位置的方差值的经验估计（empirical estimate）。
回忆一下，高斯模型的密度的形状是椭圆形的。对角线矩阵 $\Sigma$ 对应的就是椭圆长轴（major axes）对齐（axis- aligned）的高斯模型。
有时候，我们还要对这个协方差矩阵（covariance matrix）给出进一步的约束，不仅设为对角的（major axes），还要求所有对角元素（diagonal entries）都相等。这时候，就有 $\Sigma = \sigma^2I$ ，其中 $\sigma^2$ 是我们控制的参数。对这个 $\sigma^2$ 的最大似然估计则为：
$$
\sigma^2 = \frac 1{mn} \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m (x_j^{(i)}-\mu_j)^2
$$
这种模型对应的是密度函数为圆形轮廓的高斯模型（在二维空间也就是平面中是圆形，在更高维度当中就是球（spheres）或者超球体（hyperspheres））。
如果我们对数据要拟合一个完整的，不受约束的（unconstrained）协方差矩阵 $\Sigma$ ，就必须满足 $m \ge n + 1$ ，这样才使得对 $\Sigma$ 的最大似然估计不是奇异矩阵（singular matrix）。在上面提到的两个约束条件之下，只要 $m \ge 2$ ，我们就能获得非奇异的（non-singular） $\Sigma$ 。
然而，将 $\Sigma$ 限定为对角矩阵，也就意味着对数据中不同坐标（coordinates）的 $x_i，x_j$ 建模都将是不相关的（uncorrelated），且互相独立（independent）。通常，还是从样本数据里面获得某些有趣的相关信息结构比较好。如果使用上面对 $\Sigma$ 的某一种约束，就可能没办法获取这些信息了。在本章讲义里面，我们会提到因子分析模型（factor analysis model），这个模型使用的参数比对角矩阵 $\Sigma$ 更多，而且能从数据中获得某些相关性信息（captures some correlations），但也不能对完整的协方差矩阵（full covariance matrix）进行拟合。
2 多重高斯模型（Gaussians ）的边界（Marginal）和条件（Conditional） 在讲解因子分析（factor analysis）之前，我们要先说一下一个联合多元高斯分布（joint multivariate Gaussian distribution）下的随机变量（random variables）的条件（conditional）和边界（marginal）分布（distributions）。
假如我们有一个值为向量的随机变量（vector-valued random variable）：
$$
x=\begin{bmatrix}
x_1 \ x_2
\end{bmatrix}
$$
其中 $x_1 \in R^r, x_2 \in R^s$ ，因此 $x \in R^{r+s}$ 。设 $x\sim N(\mu,\Sigma)$ ，则这两个参数为：
$$
\mu=\begin{bmatrix}
\mu_1 \ \mu_2
\end{bmatrix}\qquad
\Sigma = \begin{bmatrix}
\Sigma_{11} & \Sigma_{12} \ \Sigma_{21} & \Sigma_{22}
\end{bmatrix}
$$
其中， $\mu_1 \in R^r, \mu_2 \in R^s, \Sigma_{11} \in R^{r\times r}, \Sigma_{12} \in R^{r\times s}$ ，以此类推。由于协方差矩阵（covariance matrices）是对称的（symmetric），所以有 $\Sigma_{12} = \Sigma_{21}^T$ 。
基于我们的假设，$x_1$ 和 $x_2$ 是联合多元高斯分布(jointly multivariate Gaussian)。 那么 $x_1$ 的边界分布是什么？不难看出 $x_1$ 的期望 $E[x_1] = \mu_1$ ，而协方差 $Cov(x_1) = E[(x_1 - \mu_1)(x_1 - \mu_1)] = \Sigma_{11}$ 。接下来为了验证后面这一项成立，要用 $x_1$ 和 $x_2$ 的联合方差的概念：
$$
\begin{aligned}
Cov(x) &= \Sigma \\
&= \begin{bmatrix}
\Sigma_{11} & \Sigma_{12} \ \Sigma_{21} & \Sigma_{22}
\end{bmatrix} \\
&= E[(x-\mu)(x-\mu)^T] \\
&= E\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}x_1-\mu_1 \ x_2-\mu_2\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}x_1-\mu_1 \ x_2-\mu_2\end{pmatrix}^T
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}(x_1-\mu_1)(x_1-\mu_1)^T & (x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)^T\\
(x_2-\mu_2)(x_1-\mu_1)^T & (x_2-\mu_2)(x_2-\mu_2)^T
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
在上面的最后两行中，匹配（Matching）矩阵的左上方子阵（upper-left sub blocks），就可以得到结果了。
高斯分布的边界分布（marginal distributions）本身也是高斯分布，所以我们就可以给出一个正态分布 $x_1\sim N(\mu_,\Sigma_{11})$ 来作为 $x_1$ 的边界分布（marginal distributions）。
此外，我们还可以提出另一个问题，给定 $x_2$ 的情况下 $x_1$ 的条件分布是什么呢？通过参考多元高斯分布的定义，就能得到这个条件分布 $x_1|x_2 \sim N (\mu_{1|2}, \Sigma_{1|2})$ 为：
$$
\begin{aligned}
&\mu_{1|2} = \mu_1 + \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(x_2-\mu_2)\qquad&(1) \\
&\Sigma_{1|2} = \Sigma_{11} - \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}&(2)
\end{aligned}
$$
在下一节对因子分析模型（factor analysis model）的讲解中，上面这些公式就很有用了，可以帮助寻找高斯分布的条件和边界分布（conditional and marginal distributions）。
3 因子分析模型（Factor analysis model） 在因子分析模型（factor analysis model）中，我们制定在 $(x, z)$ 上的一个联合分布，如下所示，其中 $z \in R^k$ 是一个潜在随机变量（latent random variable）：
$$
\begin{aligned}
z &\sim N(0,I) \\
x|z &\sim N(\mu+\Lambda z,\Psi)
\end{aligned}
$$
上面的式子中，我们这个模型中的参数是向量 $\mu \in R^n$ ，矩阵 $\Lambda \in R^{n×k}$ ，以及一个对角矩阵 $\Psi \in R^{n×n}$ 。$k$ 的值通常都选择比 $n$ 小一点的。
这样，我们就设想每个数据点 $x^{(i)}$ 都是通过在一个 $k$ 维度的多元高斯分布 $z^{(i)}$ 中取样获得的。然后，通过计算 $\mu+\Lambda z^{(i)}$ ，就可以映射到实数域 $R^n$ 中的一个 $k$ 维仿射空间（k-dimensional affine space），在 $\mu + \Lambda z^{(i)}$ 上加上协方差 $\Psi$ 作为噪音，就得到了 $x^{(i)}$ 。
反过来，咱们也就可以来定义因子分析模型（factor analysis model），使用下面的设定：
$$
\begin{aligned}
z &\sim N(0,I) \\
\epsilon &\sim N(0,\Psi) \\
x &= \mu + \Lambda z + \epsilon
\end{aligned}
$$
其中的 $\epsilon$ 和 $z$ 是互相独立的。
然后咱们来确切地看看这个模型定义的分布（distribution our）。其中，随机变量 $z$ 和 $x$ 有一个联合高斯分布（joint Gaussian distribution）：
$$
\begin{bmatrix}
z\x
\end{bmatrix}\sim N(\mu_{zx},\Sigma)
$$
然后咱们要找到 $\mu_{zx}$ 和 $\Sigma$ 。
我们知道 $z$ 的期望 $E[z] = 0$ ，这是因为 $z$ 服从的是均值为 $0$ 的正态分布 $z\sim N(0,I)$ 。 此外我们还知道：
$$
\begin{aligned}
E[x] &= E[\mu + \Lambda z + \epsilon] \\
&= \mu + \Lambda E[z] + E[\epsilon] \\
&= \mu
\end{aligned}
$$
综合以上这些条件，就得到了：
$$
\mu_{zx} = \begin{bmatrix}
\vec{0}\ \mu
\end{bmatrix}
$$
下一步就是要找出 $\Sigma$ ，我们需要计算出 $\Sigma_{zz} = E[(z - E[z])(z - E[z])^T]$ （矩阵$\Sigma$的左上部分（upper-left block）），$\Sigma_{zx} = E[(z - E[z])(x - E[x])^T]$（右上部分(upper-right block)），以及$\Sigma_{xx}=E[(x - E[x])(x - E[x])^T]$ （右下部分(lower-right block)）。
由于 $z$ 是一个正态分布 $z \sim N (0, I)$ ，很容易就能知道 $\Sigma_{zz} = Cov(z) = I$ 。另外：
$$
\begin{aligned}
E[(z - E[z])(x - E[x])^T] &= E[z(\mu+\Lambda z+\epsilon-\mu)^T] \\
&= E[zz^T]\Lambda^T+E[z\epsilon^T] \\
&= \Lambda^T
\end{aligned}
$$
在上面的最后一步中，使用到了结论 $E[zz^T] = Cov(z)$ （因为 $z$ 的均值为 $0$ ），而且 $E[z\epsilon^T ] = E[z]E[\epsilon^T ] = 0$ ）（因为 $z$ 和 $\epsilon$ 相互独立，因此乘积（product）的期望（expectation）等于期望的乘积）。
同样的方法，我们可以用下面的方法来找到 $\Sigma_{xx}$ ：
$$
\begin{aligned}
E[(x - E[x])(x - E[x])^T] &= E[\mu+\Lambda z+\epsilon-\mu)(\mu+\Lambda z+\epsilon-\mu)^T] \\
&= E[\Lambda zz^T\Lambda^T+\epsilon z^T\Lambda^T+\Lambda z\epsilon^T+\epsilon\epsilon^T] \\
&= \Lambda E[zz^T]\Lambda^T+E[\epsilon\epsilon^T] \\
&= \Lambda\Lambda^T+\Psi
\end{aligned}
$$
把上面这些综合到一起，就得到了：
$$
\begin{bmatrix}
z\x
\end{bmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
\begin{bmatrix}
\vec{0}\ \mu
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
I&\Lambda^T\ \Lambda&\Lambda\Lambda^T+\Psi
\end{bmatrix}
\end{pmatrix}\qquad(3)
$$
因此，我们还能发现 $x$ 的边界分布（marginal distribution）为 $x \sim N(\mu,\Lambda\Lambda^T +\Psi)$ 。所以，给定一个训练样本集合 ${x^{(i)}; i = 1, ..., m}$ ，参数（parameters）的最大似然估计函数的对数函数（log likelihood），就可以写为：
$$
l(\mu,\Lambda,\Psi)=log\prod_{i=1}^m\frac{1}
{(2\pi)^{n/2}|\Lambda\Lambda^T+\Psi|^{1/2}}
exp(-\frac 12(x^{(i)}-\mu)^T(\Lambda\Lambda^T+\Psi)^{-1}(x^{(i)}-\mu))
$$
为了进行最大似然估计，我们就要最大化上面这个关于参数的函数。但确切地对上面这个方程式进行最大化，是很难的，不信你自己试试哈，而且我们都知道没有算法能够以封闭形式（closed-form）来实现这个最大化。所以，我们就改用期望最大化算法（EM algorithm）。下一节里面，咱们就来推导一下针对因子分析模型（factor analysis）的期望最大化算法（EM）。
4 针对因子分析模型（factor analysis）的期望最大化算法（EM） $E$ 步骤的推导很简单。只需要计算出来 $Q_i(z^{(i)}) = p(z^{(i)}|x^{(i)}; \mu, \Lambda, \Psi)$ 。把等式$(3)$ 当中给出的分布代入到方程$(1-2)$，来找出一个高斯分布的条件分布，我们就能发现 $z^{(i)}|x^{(i)}; \mu, \Lambda, \Psi \sim N (\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}} , \Sigma_{z^{(i)}|x^{(i)}} )$ ，其中：
$$
\begin{aligned}
\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}&=\Lambda^T(\Lambda\Lambda^T+\Psi)^{-1}(x^{(i)}-\mu) \\
\Sigma_{z^{(i)}|x^{(i)}}&=I-\Lambda^T(\Lambda\Lambda^T+\Psi)^{-1}\Lambda
\end{aligned}
$$
所以，通过对 $\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}$ 和 $\Sigma_{z^{(i)}|x^{(i)}}$ ,进行这样的定义，就能得到：
$$
Q_i(z^{(i)})=\frac{1}
{(2\pi)^{k/2}|\Sigma_{z^{(i)}|x^{(i)}}|^{1/2}}
exp(-\frac 12(z^{(i)}-\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}})^T\Sigma_{z^{(i)}|x^{(i)}}^{-1}(z^{(i)}-\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}))
$$
接下来就是 $M$ 步骤了。这里需要去最大化下面这个关于参数 $\mu, \Lambda$ , $\Psi$ 的函数值：
$$
\sum_{i=1}^m\int_{z^{(i)}}Q_i(z^{(i)})log\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\mu,\Lambda,\Psi)}{Q_i(z^{(i)})}dz^{(i)}\qquad(4)
$$
我们在本文中仅仅对 $\Lambda$ 进行优化，关于 $\mu$ 和 $\Psi$ 的更新就作为练习留给读者自己进行推导了。
把等式$(4)$ 简化成下面的形式：
$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^m&\int_{z^{(i)}}Q_i(z^{(i)})[log p(x^{(i)}|z^{(i)};\mu,\Lambda,\Psi)+log p(z^{(i)})-log Q_i(z^{(i)})]dz^{(i)} &(5)\\
&=\sum_{i=1}^m E_{z^{(i)}\sim Q_i}[log p(x^{(i)}|z^{(i)};\mu,\Lambda,\Psi)+log p(z^{(i)})-log Q_i(z^{(i)})] &(6)
\end{aligned}
$$
上面的等式中，$“z^{(i)} \sim Q_i”$ 这个下标（subscript），表示的意思是这个期望是关于从 $Q_i$ 中取得的 $z^{(i)}$ 的。在后续的推导过程中，如果没有歧义的情况下，我们就会把这个下标省略掉。删除掉这些不依赖参数的项目后，我们就发现只需要最大化：
$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^m&E[log p(x^{(i)}|z^{(i)};\mu,\Lambda,\Psi)] \\
&=\sum_{i=1}^m E[log\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Psi|^{1/2}}
exp(-\frac 12(x^{(i)}-\mu-\Lambda z^{(i)})^T\Psi^{-1}(x^{(i)}-\mu-\Lambda z^{(i)}))] \\
&=\sum_{i=1}^m E[-\frac 12log|\Psi|-\frac n2log(2\pi)-\frac 12(x^{(i)}-\mu-\Lambda z^{(i)})^T\Psi^{-1}(x^{(i)}-\mu-\Lambda z^{(i)})]
\end{aligned}
$$
我们先对上面的函数进行关于 $\Lambda$ 的最大化。可见只有最后的一项依赖 $\Lambda$ 。求导数，同时利用下面几个结论：$tr a = a (for\quad a \in R), tr AB = tr BA, \nabla_A tr ABA^T C = CAB + C^T AB$，就能得到：
$$
\begin{aligned}
\nabla_\Lambda&\sum_{i=1}^m -E[\frac 12(x^{(i)}-\mu-\Lambda z^{(i)})^T\Psi^{-1}(x^{(i)}-\mu-\Lambda z^{(i)})] \\
&=\sum_{i=1}^m \nabla_\Lambda E[-tr\frac 12 z^{(i)T}\Lambda^T\Psi^{-1}\Lambda z^{(i)}+tr z^{(i)T}\Lambda^T\Psi^{-1}(x^{(i)}-\mu)] \\
&=\sum_{i=1}^m \nabla_\Lambda E[-tr\frac 12 \Lambda^T\Psi^{-1}\Lambda z^{(i)}z^{(i)T}+tr \Lambda^T\Psi^{-1}(x^{(i)}-\mu)z^{(i)T}] \\
&=\sum_{i=1}^m E[-\Psi^{-1}\Lambda z^{(i)}z^{(i)T}+\Psi^{-1}(x^{(i)}-\mu)z^{(i)T}] \\
\end{aligned}
$$
设置导数为 $0$ ，然后简化，就能得到：
$$
\sum_{i=1}^m\Lambda E_{z^{(i)}\sim Q_i}[z^{(i)}z^{(i)T}]=
\sum_{i=1}^m(x^{(i)}-\mu)E_{z^{(i)}\sim Q_i}[z^{(i)T}]
$$
接下来，求解 $\Lambda$ ，就能得到：
$$
\Lambda=(\sum_{i=1}^m(x^{(i)}-\mu)E_{z^{(i)}\sim Q_i}[z^{(i)T}])(\sum_{i=1}^m E_{z^{(i)}\sim Q_i}[z^{(i)}z^{(i)T}])^{-1}\qquad(7)
$$
有一个很有意思的地方需要注意，上面这个等式和用最小二乘线性回归（least squares regression）推出的正则方程（normal equation）有密切关系：
$$
“\theta^T=(y^TX)(X^TX)^{-1}”
$$
与之类似，这里的 $x$ 是一个关于 $z$ （以及噪音 noise）的线性方程。考虑在 $E$ 步骤中对 $z$ 已经给出了猜测，接下来就可以尝试来对与 $x$ 和 $z$ 相关的未知线性量（unknown linearity）$\Lambda$ 进行估计。接下来不出意料，我们就会得到某种类似正则方程的结果。然而，这个还是和利用对 $z$ 的“最佳猜测（best guesses）” 进行最小二乘算法有一个很大的区别的；这一点我们很快就会看到了。
为了完成 $M$ 步骤的更新，接下来我们要解出等式$(7)$ 当中的期望值（values of the expectations）。由于我们定义 $Q_i$ 是均值（mean）为 $\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}$ ，协方差（covariance）为 $\Sigma_{z^{(i)}|x^{(i)}}$ 的一个高斯分布，所以很容易能得到：
$$
\begin{aligned}
E_{z^{(i)}\sim Q_i}[z^{(i)T}]&= \mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}^T \\
E_{z^{(i)}\sim Q_i}[z^{(i)}z^{(i)T}]&= \mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}^T+\Sigma_{z^{(i)}|x^{(i)}}
\end{aligned}
$$
上面第二个等式的推导依赖于下面这个事实：对于一个随机变量 $Y$ ，协方差 $Cov(Y ) = E[Y Y^T ]-E[Y]E[Y]^T$ ，所以 $E[Y Y^T ] = E[Y ]E[Y ]^T +Cov(Y)$ 。把这个代入到等式$(7)$，就得到了 $M$ 步骤中 $\Lambda$ 的更新规则：
$$
\Lambda=(\sum_{i=1}^m(x^{(i)}-\mu)\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}^T)(\sum_{i=1}^m\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}} \mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}^T + \Sigma_{z^{(i)}|x^{(i)}})^{-1}\qquad(8)
$$
上面这个等式中，要特别注意等号右边这一侧的 $\Sigma_{z^{(i)}|x^{(i)}}$ 。这是一个根据 $z^{(i)}$ 给出的 $x^{(i)}$ 后验分布（posterior distribution）$p(z^{(i)}|x^{(i)})$ 的协方差，而在 $M$ 步骤中必须要考虑到在这个后验分布中 $z^{(i)}$ 的不确定性（uncertainty）。推导 $EM$ 算法的一个常见错误就是在 $E$ 步骤进行假设，只需要算出潜在随机变量（latent random variable） $z$ 的期望 $E[z]$ ，然后把这个值放到 $M$ 步骤当中 $z$ 出现的每个地方来进行优化（optimization）。当然，这能解决简单问题，例如高斯混合模型（mixture of Gaussians），在因子模型的推导过程中，就同时需要 $E[zz^T ]$ 和 $E[z]$ ；而我们已经知道，$E[zz^T ]$ 和 $E[z]E[z]T$ 随着 $\Sigma_{z|x}$ 而变化。因此，在 $M$ 步骤就必须要考虑到后验分布（posterior distribution）$p(z^{(i)}|x^{(i)})$中 $z$ 的协方差（covariance）。
最后，我们还可以发现，在 $M$ 步骤对参数 $\mu$ 和 $\Psi$ 的优化。不难发现其中的 $\mu$ 为：
$$
\mu=\frac 1m\sum_{i=1}^m x^{(i)}
$$
由于这个值不随着参数的变换而改变（也就是说，和 $\Lambda$ 的更新不同，这里等式右侧不依赖 $Q_i(z^{(i)}) = p(z^{(i)}|x^{(i)}; \mu, \Lambda, \Psi)$ ，这个 $Qi(z^{(i)})$ 是依赖参数的），这个只需要计算一次就可以，在算法运行过程中，也不需要进一步更新。类似地，对角矩阵 $\Psi$ 也可以通过计算下面这个式子来获得：
$$
\Phi=\frac 1m\sum_{i=1}^m x^{(i)}x^{(i)T}-x^{(i)}\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}^T\Lambda^T - \Lambda\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}x^{(i)T}+\Lambda(\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}\mu_{z^{(i)}|x^{(i)}}^T+\Sigma_{z^{(i)}|x^{(i)}})\Lambda^T
$$
然后只需要设 $\Psi_{ii} = \Phi_{ii}$ （也就是说，设 $\Psi$ 为一个仅仅包含矩阵 $Φ$ 中对角线元素的对角矩阵）。