#△数值问题
《科学计算导论》1.1、1.2、1.3.1-1.3.9&《数值方法与计算机实现》1.1、1.2
数值分析/科学计算
设计和分析数值型的算法，用于解决科学和工程领域的数学问题
####数值分析研究问题
线性方程组
非线性方程
最优化问题
拟合与插值
解的特性 存在性、唯一性、最优性、精确性
算法的特性 性能和效率
####适定性
解存在
解是唯一的
连续地依赖于问题数据
不满足条件的问题，被称为不适定的
####病态性
解可能对于输入数据很敏感
病态是问题的特性，与所选择的算法没有关系
##误差分析
###绝对误差&相对误差
绝对误差= 近似值- 真值
相对误差= 绝对误差/ 真值
近似值= 真值×(1 + 相对误差)
相对误差≈ 估计误差/ 近似值
###误差来源
误差= 计算误差+ 数据传播误差
计算误差= 截断误差+ 舍入误差
###舍入误差
计算机采用的浮点数是实数轴上不等距有限点集
因此，在计算机的浮点数系上, 四则运算实际上是不封闭的
###前向误差与后向误差
前向误差（Forward Error）
后向误差（Backward Error）
###敏感性和病态性
条件数表示从输入数据的相对差异到解的相对差异的放大系数
cond ≤ 1 表明问题是不敏感的，是良态的
cond >> 1 表明问题是敏感的，是病态的
实际过程中由于难以求得条件数，往往只能满足于在输入数据的定
义域上得到条件数的估计值，或者得到其上限
绝对条件数
函数求值和方程求解问题的敏感性是相反的
###浮点数系统
数据x 按照浮点数表示为
除非所表示的数为0，否则尾数的首位d0 不为0；满足这个条件的浮点数系统成为正规化的
最小的正的正规化浮点数为UFL =β^L，称为下溢限
最大的正的正规化浮点数为OFL = β^(U+1) (1-β^-p)，称为上溢限
在指数域达到最小值时，允许尾数首位为0，称为次正规化
####舍入误差
截断：将x 的β基底展开的第p-1 位后之后截去，也称向零舍入法
最近舍入：取与x 最接近的浮点数，在相等情况取最后一个为偶数
####有效数字
####相对误差
有n 位有效数字的相对误差
###溢出
浮点运算还可能导致溢出，下溢可以用0 来表示，而上溢是致命的
大数吃小数
抵消 两个相近的数相减会造成有效数字的损失
在计算过程中，误差的存在和产生是不可避免的
稳定的算法，使得误差在传播过程中是衰减的或者可控的
对于良态的问题，利用稳定的算法就可以得到满足精度要求的解
对于误差来源的分析和理解，有助于我们设计出稳定的算法