第五讲：转换、置换、向量空间R

置换矩阵（Permutation Matrix）

$P$为置换矩阵，对任意可逆矩阵$A$有：

$PA=LU$

$n$阶方阵的置换矩阵$P$有$\binom{n}{1}=n!$个

对置换矩阵$P$，有$P^TP = I$

即$P^T = P^{-1}

转置矩阵（Transpose Matrix）

$(A^T){ij} = (A){ji}$

对称矩阵（Symmetric Matrix）

$A^T$ = $A$

对任意矩阵$R$有$R^TR$为对称矩阵：

$$ (R^TR)^T = (R)^T(R^T)^T = R^TR\\ \textrm{即}(R^TR)^T = R^TR $$

向量空间（Vector Space）

所有向量空间都必须包含原点（Origin）；

向量空间中任意向量的数乘、求和运算得到的向量也在该空间中。即向量空间要满足加法封闭和数乘封闭。